- Esempi
- I vantaggi dei logaritmi
- Esempio
- rispondere
- Esercizio applicativo: la scala Richter
- Soluzione
- Riferimenti
La funzione logaritmica è una relazione matematica che associa ogni numero reale positivo x con il suo logaritmo y su base a. Questa relazione soddisfa i requisiti per essere una funzione: ogni elemento x appartenente al dominio ha un'immagine unica.
Così:
Poiché il logaritmo basato su un numero x è il numero y a cui deve essere elevata la base a per ottenere x.
-Il logaritmo della base è sempre 1. Quindi, il grafico di f (x) = log a x interseca sempre l'asse x nel punto (1,0)
-La funzione logaritmica è trascendente e non può essere espressa come polinomio o come quoziente di questi. Oltre al logaritmo, questo gruppo include le funzioni trigonometriche e l'esponenziale, tra le altre.
Esempi
La funzione logaritmica può essere stabilita da varie basi, ma le più utilizzate sono 10 ed e, dove e è il numero di Eulero pari a 2,71828….
Quando viene utilizzata la base 10, il logaritmo è chiamato logaritmo decimale, logaritmo ordinario, logaritmo di Briggs o semplicemente logaritmo semplice.
E se si usa il numero e, allora si chiama logaritmo naturale, da John Napier, il matematico scozzese che ha scoperto i logaritmi.
La notazione usata per ognuno è la seguente:
-Logaritmo decimale: log 10 x = log x
-Logaritmo neperiano: ln x
Quando si intende utilizzare un'altra base, è assolutamente necessario indicarla come pedice, perché il logaritmo di ogni numero è diverso a seconda della base da utilizzare. Ad esempio, se sono logaritmi in base 2, scrivi:
y = log 2 x
Diamo un'occhiata al logaritmo del numero 10 in tre diverse basi, per illustrare questo punto:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
I calcolatori comuni portano solo logaritmi decimali (funzione log) e logaritmi naturali (funzione ln). Su Internet ci sono calcolatrici con altre basi. In ogni caso, il lettore può verificare, con il suo aiuto, che i valori precedenti siano soddisfatti:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Piccole differenze decimali sono dovute al numero di cifre decimali prese nel calcolo del logaritmo.
I vantaggi dei logaritmi
Tra i vantaggi dell'utilizzo dei logaritmi c'è la facilità che forniscono per lavorare con grandi numeri, utilizzando direttamente il loro logaritmo invece del numero.
Ciò è possibile perché la funzione logaritmo cresce più lentamente all'aumentare dei numeri, come possiamo vedere nel grafico.
Quindi, anche con numeri molto grandi, i loro logaritmi sono molto più piccoli e manipolare numeri piccoli è sempre più facile.
Inoltre, i logaritmi hanno le seguenti proprietà:
- Prodotto : log (ab) = log a + log b
- Quoziente : log (a / b) = log a - log b
- Potenza : log a b = b.log a
E in questo modo i prodotti ei quozienti diventano addizioni e sottrazioni di numeri più piccoli, mentre l'empowerment diventa un prodotto semplice anche se il potere è alto.
Ecco perché i logaritmi ci consentono di esprimere numeri che variano in intervalli di valori molto ampi, come l'intensità del suono, il pH di una soluzione, la luminosità delle stelle, la resistenza elettrica e l'intensità dei terremoti sulla scala Richter.
Figura 2. I logaritmi sono usati sulla scala Richter per quantificare la magnitudo dei terremoti. L'immagine mostra un edificio crollato a Concepción, in Cile, durante il terremoto del 2010. Fonte: Wikimedia Commons.
Vediamo un esempio di gestione delle proprietà dei logaritmi:
Esempio
Trova il valore di x nella seguente espressione:
rispondere
Abbiamo qui un'equazione logaritmica, poiché l'ignoto è nell'argomento del logaritmo. Si risolve lasciando un singolo logaritmo su ciascun lato dell'uguaglianza.
Iniziamo inserendo tutti i termini che contengono "x" a sinistra dell'uguaglianza e quelli che contengono solo numeri a destra:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
A sinistra abbiamo la sottrazione di due logaritmi, che possono essere scritti come logaritmo di un quoziente:
log = 1
Tuttavia, a destra c'è il numero 1, che possiamo esprimere come log 10, come abbiamo visto in precedenza. Così:
log = log 10
Affinché l'uguaglianza sia vera, gli argomenti dei logaritmi devono essere uguali:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Esercizio applicativo: la scala Richter
Nel 1957 si verificò un terremoto in Messico di magnitudo 7,7 della scala Richter. Nel 1960 in Cile si verificò un altro terremoto di maggiore entità, del 9,5.
Calcola quante volte il terremoto in Cile è stato più intenso di quello in Messico, sapendo che la magnitudo M R della scala Richter è data dalla formula:
M R = logaritmo (10 4 I)
Soluzione
La magnitudo sulla scala Richter di un terremoto è una funzione logaritmica. Calcoleremo l'intensità di ogni terremoto, poiché abbiamo le magnitudini Richter. Facciamolo passo dopo passo:
- Messico : 7,7 = log (10 4 I)
Poiché l'inverso della funzione logaritmo è l'esponenziale, lo applichiamo a entrambi i lati dell'uguaglianza con l'intenzione di risolvere per I, che si trova nell'argomento del logaritmo.
Poiché sono logaritmi decimali, la base è 10. Quindi:
10 7.7 = 10 4 I
L'intensità del terremoto in Messico è stata:
Io M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Cile : 9.5 = log (10 4 I)
La stessa procedura ci porta all'intensità del terremoto cileno I Ch :
Ho Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Ora possiamo confrontare entrambe le intensità:
Io ch / io m = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
Io Ch = 63,1. Io M
Il terremoto in Cile è stato circa 63 volte più intenso di quello in Messico. Poiché la magnitudine è logaritmica, cresce più lentamente dell'intensità, quindi una differenza di 1 nella magnitudine, significa un'ampiezza 10 volte maggiore dell'onda sismica.
La differenza tra le magnitudini di entrambi i terremoti è 1,8, quindi potremmo aspettarci una differenza di intensità più vicina a 100 che a 10, come è effettivamente accaduto.
Infatti, se la differenza fosse stata esattamente 2, il terremoto cileno sarebbe stato 100 volte più intenso di quello messicano.
Riferimenti
- Carena, M. 2019. Manuale di matematica pre-universitaria. Università Nazionale del Litorale.
- Figuera, J. 2000. Matematica 1st. Anno diversificato. Edizioni CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Calcolo di una variabile. 9 °. Edizione. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 °. Edizione. Cengage Learning.