- Dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica
- Unicità della scomposizione in fattori primi
- applicazioni
- Numeri primi in natura
- Numeri primi e acquisti online
- Esercizi risolti
- - Esercizio 1
- Soluzione
- - Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che qualsiasi numero naturale maggiore di 1 può essere scomposto come prodotto di numeri primi - alcuni possono essere ripetuti - e questa forma è unica per quel numero, sebbene l'ordine dei fattori possa essere diverso.
Ricorda che un numero primo p è uno che ammette come divisori positivi solo se stesso e 1. I seguenti numeri sono primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e così via, poiché ci sono infiniti. Il numero 1 non è considerato un primo, poiché ha un solo divisore.
Figura 1. Euclide (a sinistra) ha dimostrato il teorema fondamentale dell'aritmetica nel suo libro Elements (350 aC), e la prima dimostrazione completa è dovuta a Carl F. Gauss (1777-1855) (a destra). Fonte: Wikimedia Commons.
Da parte sua, i numeri che non rispettano quanto sopra sono chiamati numeri composti, come 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Prendiamo ad esempio il numero 10 e vediamo subito che può essere scomposto come prodotto di 2 e 5:
10 = 2 × 5
Sia il 2 che il 5 sono, effettivamente, numeri primi. Il teorema afferma che questo è possibile per qualsiasi numero n:
Dove p 1 , p 2 , p 3 … p r sono numeri primi e k 1 , k 2 , k 3 ,… k r sono numeri naturali. Quindi i numeri primi agiscono come i mattoni da cui, attraverso la moltiplicazione, vengono costruiti i numeri naturali.
Dimostrazione del teorema fondamentale dell'aritmetica
Cominciamo mostrando che ogni numero può essere scomposto in fattori primi. Sia un numero naturale n> 1, primo o composto.
Ad esempio, se n = 2, può essere espresso come: 2 = 1 × 2, che è primo. Allo stesso modo, procedere con i seguenti numeri:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Continuiamo così, scomponendo tutti i numeri naturali fino a raggiungere il numero n -1. Vediamo se possiamo farlo con il seguente numero: n.
Se n è primo, possiamo scomporlo come n = 1 × n, ma supponiamo che n sia composto e abbia un divisore d, logicamente minore di n:
1 <d <n.
Se n / d = p 1 , con p 1 un numero primo, allora n viene scritto come:
n = p 1 .d
Se d è primo non c'è più da fare, ma se non lo è c'è un numero n 2 che è un divisore di de minore di questo: n 2 <d, quindi d può essere scritto come prodotto di n 2 da un altro numero primo p 2 :
d = p 2 n 2
Che quando si sostituisce nel numero originale n darebbe:
n = p 1 .p 2 .n 2
Supponiamo ora che neppure n 2 sia un numero primo e lo scriviamo come prodotto di un numero primo p 3 , per il suo divisore n 3 , tale che n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Ripetiamo questa procedura un numero finito di volte fino ad ottenere:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Ciò significa che è possibile scomporre tutti i numeri interi da 2 al numero n, come prodotto di numeri primi.
Unicità della scomposizione in fattori primi
Verifichiamo ora che, fatta eccezione per l'ordine dei fattori, questa scomposizione è unica. Supponiamo che n possa essere scritto in due modi:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (con r ≤ s)
Ovviamente anche q 1 , q 2 , q 3 … sono numeri primi. Poiché p 1 divide (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ) allora p 1 è uguale a una qualsiasi delle "q", non importa quale, quindi possiamo dire che p 1 = q 1 . Dividiamo n per p 1 e otteniamo:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Ripetiamo la procedura finché non dividiamo tutto per p r , quindi otteniamo:
1 = q r + 1 … q s
Ma non è possibile arrivare a q r + 1 … q s = 1 quando r <s, solo se r = s. Sebbene ammettendo che r = s, si ammette anche che la "p" e la "q" sono la stessa cosa. Quindi la decomposizione è unica.
applicazioni
Come abbiamo detto prima, i numeri primi rappresentano, se volete, gli atomi dei numeri, le loro componenti di base. Quindi il teorema fondamentale dell'aritmetica ha numerose applicazioni, la più ovvia: possiamo lavorare con numeri grandi più facilmente se li esprimiamo come il prodotto di numeri più piccoli.
Allo stesso modo, possiamo trovare il massimo comune multiplo (MCM) e il massimo comune divisore (GCF), una procedura che ci aiuta a fare più facilmente somme di frazioni, trovare radici di grandi numeri o operare con radicali, razionalizzare e risolvere problemi applicativi di natura molto varia.
Inoltre, i numeri primi sono estremamente enigmatici. In essi non è ancora riconosciuto uno schema e non è possibile sapere quale sarà il prossimo. Il più grande finora è stato trovato dai computer e ha 24.862.048 cifre, sebbene i nuovi numeri primi appaiano ogni volta meno frequentemente.
Numeri primi in natura
Le cicale, cicale o cicale che vivono nel nord-est degli Stati Uniti emergono in cicli di 13 o 17 anni. Sono entrambi numeri primi.
In questo modo le cicale evitano di coincidere con predatori o concorrenti che hanno altri periodi di nascita, né le diverse varietà di cicale competono tra loro, poiché non coincidono durante lo stesso anno.
Figura 2. La cicala Magicicada degli Stati Uniti orientali emerge ogni 13-17 anni. Fonte: Pxfuel.
Numeri primi e acquisti online
I numeri primi vengono utilizzati nella crittografia per mantenere segreti i dettagli della carta di credito quando si effettuano acquisti su Internet. In questo modo, i dati che l'acquirente raggiungono in negozio con precisione senza perdersi o cadere nelle mani di persone senza scrupoli.
Come? I dati sulle carte sono codificati in un numero N che può essere espresso come prodotto di numeri primi. Questi numeri primi sono la chiave che i dati rivelano, ma sono sconosciuti al pubblico, possono essere decodificati solo sul web a cui sono diretti.
Decomporre un numero in fattori è un compito facile se i numeri sono piccoli (vedi gli esercizi risolti), ma in questo caso vengono usati come chiave i numeri primi di 100 cifre, che moltiplicandoli danno numeri molto più grandi, la cui scomposizione dettagliata comporta un compito enorme .
Esercizi risolti
- Esercizio 1
Suddividi 1029 in fattori primi.
Soluzione
1029 è divisibile per 3. È noto perché sommando le sue cifre la somma è un multiplo di 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Poiché l'ordine dei fattori non altera il prodotto, possiamo iniziare da lì:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
D'altra parte 343 = 7 3 , quindi:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
E poiché sia 3 che 7 sono numeri primi, questa è la decomposizione di 1029.
- Esercizio 2
Fattorizzare il trinomio x 2 + 42x + 432.
Soluzione
Il trinomio viene riscritto nella forma (x + a). (x + b) e dobbiamo trovare i valori di aeb, tali che:
a + b = 42; ab = 432
Il numero 432 viene scomposto in fattori primi e da lì viene scelta la combinazione appropriata per tentativi ed errori in modo che i fattori aggiunti diano 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 = …
Da qui ci sono diverse possibilità per scrivere 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
E tutto può essere trovato combinando prodotti tra i fattori primi, ma per risolvere l'esercizio proposto, l'unica combinazione adatta è: 432 = 24 × 18 poiché 24 + 18 = 42, quindi:
x 2 + 42 x + 432 = (x + 24). (x +18)
Riferimenti
- Baldor, A. 1986. Aritmetica pratica teorica. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Il codice della natura nascosto. Estratto da: bbc.com.
- De Leon, Manuel Numeri primi: i guardiani di Internet. Estratto da: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Teoria dei numeri I: Teorema fondamentale dell'aritmetica. Estratto da: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Estratto da: es.wikipedia.org.