- Formule e proprietà
- L'area sotto la curva
- Esercizi risolti
- - Esercizio 1
- Soluzione
- - Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
La somma di Riemann è il nome dato al calcolo approssimativo di un integrale definito, mediante una sommatoria discreta con un numero finito di termini. Un'applicazione comune è l'approssimazione dell'area delle funzioni su un grafico.
Fu il matematico tedesco Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) a offrire per primo una definizione rigorosa dell'integrale di una funzione in un dato intervallo. Lo ha reso noto in un articolo pubblicato nel 1854.
Figura 1. La somma di Riemann è definita su una funzione f e su una partizione nell'intervallo. Fonte: Fanny Zapata.
La somma di Riemann è definita su una funzione y = f (x), con x appartenente all'intervallo chiuso. In questo intervallo, viene creata una partizione P di n elementi:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Ciò significa che l'intervallo è suddiviso come segue:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
La Figura 1 mostra graficamente la somma di Riemann della funzione f nell'intervallo su una partizione di quattro sottointervalli, i rettangoli grigi.
La somma rappresenta l'area totale dei rettangoli e il risultato di questa somma approssima numericamente l'area sotto la curva f, compresa tra le ascisse x = x 0 e x = x 4 .
Ovviamente l'approssimazione all'area sotto la curva migliora notevolmente all'aumentare del numero n di partizioni. In questo modo la somma converge all'area sotto la curva, quando il numero n di partizioni tende all'infinito.
Formule e proprietà
La somma di Riemann della funzione f (x) sulla partizione:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Definito sull'intervallo, è dato da:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Dove t k è un valore nell'intervallo. Nella somma di Riemann si usano solitamente intervalli regolari di larghezza Δx = (b - a) / n, dove aeb sono i valori minimo e massimo dell'ascissa, mentre n è il numero di suddivisioni.
In tal caso la somma corretta di Riemann è:
Sd (f, n) = * Δx
Figura 2. Somma giusta di Riemann. Fonte: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Mentre la somma sinistra di Riemann è espressa come:
Se (f, n) = * Δx
Figura 3. Somma di Riemann a sinistra. Fonte: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Infine la somma centrale di Riemann è:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Figura 4. Somma di Riemann intermedia. Fonte: Wikimedia Commons. 09glasgow09
A seconda di dove si trova il punto t k nell'intervallo, la somma di Riemann può sovrastimare o sottostimare il valore esatto dell'area sotto la curva della funzione y = f (x). In altre parole, i rettangoli possono sporgere dalla curva o essere leggermente al di sotto di essa.
L'area sotto la curva
La proprietà principale della somma di Riemann e da cui deriva la sua importanza, è che se il numero delle suddivisioni tende all'infinito, il risultato della somma converge all'integrale definito della funzione:
Esercizi risolti
- Esercizio 1
Calcola il valore dell'integrale definito tra a = -2 e b = +2 della funzione:
f (x) = x 2
Usa una somma di Riemann. Per fare ciò, prima trova la somma di n partizioni regolari dell'intervallo e poi prendi il limite matematico per il caso in cui il numero di partizioni tende all'infinito.
Soluzione
Questi sono i passaggi da seguire:
-In primo luogo, l'intervallo di partizione è definito come:
Δx = (b - a) / n.
-Quindi la somma di Riemann a destra corrispondente alla funzione f (x) appare così:
-E poi viene accuratamente sostituito nella sommatoria:
-Il passaggio successivo consiste nel separare le somme e prendere le quantità costanti come fattore comune di ciascuna somma. È necessario tenere conto che l'indice è i, quindi i numeri ei termini con n sono considerati costanti:
-Ogni somma viene valutata, poiché per ognuna di esse ci sono espressioni appropriate. Ad esempio, la prima delle somme dà n:
-Infine, l'integrale da calcolare è:
Il lettore può verificare che questo sia il risultato esatto, ottenibile risolvendo l'integrale indefinito e valutando i limiti di integrazione secondo la regola di Barrow.
- Esercizio 2
Determinare approssimativamente l'area sotto la funzione:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Immettere x = -1 ex = + 1, utilizzando una somma di Riemann centrale con 10 partizioni. Confronta con il risultato esatto e stima la differenza percentuale.
Soluzione
Il passo o incremento tra due valori discreti successivi è:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Quindi la partizione P su cui sono definiti i rettangoli si presenta così:
P = {-1,0; -0,8; -0.6; -0,4; -0,2; 0,0; 0.2; 0.4; 0.6; 0,8; 1.0}
Ma poiché ciò che si vuole è la somma centrale, la funzione f (x) sarà valutata nei punti medi dei sottointervalli, cioè nell'insieme:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0.3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0.9}.
La somma (centrale) di Riemann si presenta così:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Poiché la funzione f è simmetrica, è possibile ridurre la somma a soli 5 termini e il risultato viene moltiplicato per due:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
La funzione data in questo esempio non è altro che la ben nota campana gaussiana (normalizzata, con media uguale a zero e deviazione standard uno). L'area sotto la curva nell'intervallo per questa funzione è nota come 0,6827.
Figura 5. Area sotto una campana gaussiana approssimata da una somma di Riemann. Fonte: F. Zapata.
Ciò significa che la soluzione approssimativa con soli 10 termini corrisponde alla soluzione esatta con tre cifre decimali. L'errore percentuale tra l'integrale approssimativo e quello esatto è dello 0,07%.
Riferimenti
- Casteleiro, JM e Gómez-Álvarez, RP (2002). Calcolo integrale (Illustrato ed.). Madrid: editoriale ESIC.
- Unican. Storia del concetto di integrale. Estratto da: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann riassume. Estratto da: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Somma di Riemann. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Integrazione di Riemann. Estratto da: es.wikipedia.com