VETTORE DIRETTORE: EQUAZIONE DELLA LINEA, ESERCIZI RISOLTI - FISICO - 2024

Un vettore regista è inteso come quello che definisce la direzione di una linea, nel piano o nello spazio. Pertanto, un vettore parallelo alla linea può essere considerato come un vettore direttivo di essa.

Ciò è possibile grazie ad un assioma della geometria euclidea che dice che due punti definiscono una linea. Quindi il segmento orientato formato da questi due punti definisce anche un vettore direttore di detta linea.

Figura 1. Director vettore di una linea. (Elaborazione propria)

Dato un punto P appartenente alla retta (L) e dato un vettore direttrice u di quella retta, la retta è completamente determinata.

Equazione della retta e vettore direttore

Figura 2. Equazione della linea e vettore direttore. (Elaborazione propria)

Dato un punto P di coordinate P: (Xo, I) e un vettore u direttore di una retta (L), ogni punto Q di coordinate Q: (X, Y) deve soddisfare che il vettore PQ è parallelo a u. Quest'ultima condizione è garantita se PQ è proporzionale u :

PQ = t⋅ u

nell'espressione sopra t è un parametro che appartiene ai numeri reali.

Se i componenti cartesiane del PQ e u sono scritti, l'equazione di cui sopra è scritta come segue:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Se le componenti dell'uguaglianza vettoriale sono equalizzate, si ottiene la seguente coppia di equazioni:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Equazione parametrica della retta

Le coordinate X e Y di un punto appartenente alla linea (L) che passa per un punto di coordinate (Xo, Yo) ed è parallelo al vettore direttrice u = (a, b) sono determinate assegnando valori reali al parametro variabile t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Esempio 1

Per illustrare il significato dell'equazione parametrica della retta, prendiamo come vettore di direzione

u = (a, b) = (2, -1)

e come punto noto della linea il punto

P = (Xo, I) = (1, 5).

L'equazione parametrica della retta è:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Per illustrare il significato di questa equazione, è mostrata la figura 3, dove il parametro t cambia il suo valore e il punto Q delle coordinate (X, Y) assume diverse posizioni sulla linea.

Figura 3. PQ = t u. (Elaborazione propria)

La linea in forma vettoriale

Dato un punto P sulla retta e il suo vettore direttrice u, l'equazione della retta può essere scritta in forma vettoriale:

OQ = OP + λ⋅ u

Nell'equazione precedente, Q è un punto qualsiasi ma appartiene alla linea e λ è un numero reale.

L'equazione vettoriale della linea è applicabile a qualsiasi numero di dimensioni, anche una iperline può essere definita.

Nel caso tridimensionale per un vettore direttrice u = (a, b, c) e un punto P = (Xo, Yo, Zo), le coordinate di un generico punto Q = (X, Y, Z) appartenente alla retta sono :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Esempio 2

Considera ancora la linea che ha come vettore direzionale

u = (a, b) = (2, -1)

e come punto noto della linea il punto

P = (Xo, I) = (1, 5).

L'equazione vettoriale di detta retta è:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forma continua della linea e del vettore regista

Partendo dalla forma parametrica, azzerando ed equiparando il parametro λ, abbiamo:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Questa è la forma simmetrica dell'equazione della retta. Si noti che a, b e c sono i componenti del vettore director.

Esempio 3

Considera la linea che ha come vettore di direzione

u = (a, b) = (2, -1)

e come punto noto della linea il punto

P = (Xo, I) = (1, 5). Trova la sua forma simmetrica.

La forma simmetrica o continua della linea è:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Forma generale dell'equazione della retta

La forma generale della linea nel piano XY è nota come l'equazione che ha la seguente struttura:

A⋅X + B⋅Y = C

L'espressione per la forma simmetrica può essere riscritta per avere la forma generale:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

rispetto alla forma generale della linea è:

A = b, B = -a e C = b⋅Xo - a⋅Yo

Esempio 3

Trova la forma generale della retta il cui vettore direttore è u = (2, -1)

e che passa per il punto P = (1, 5).

Per trovare la forma generale possiamo usare le formule date, tuttavia verrà scelto un percorso alternativo.

Iniziamo trovando il vettore duale w del vettore direttrice u, definito come il vettore ottenuto scambiando le componenti di u e moltiplicando il secondo per -1:

w = (-1, -2)

il vettore duale w corrisponde ad una rotazione di 90 ° in senso orario del vettore direttore v .

Moltiplichiamo scalare w con (X, Y) e con (Xo, Yo) e poniamo uguale:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

rimanendo infine:

X + 2Y = 11

Forma standard dell'equazione della retta

È noto come la forma standard della linea nel piano XY, che ha la seguente struttura:

Y = m⋅X + d

dove m rappresenta la pendenza ed l'intercetta con l'asse Y.

Dato il vettore di direzione u = (a, b), la pendenza m è b / a.

Y d si ottiene sostituendo X e Y al punto noto Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

In breve, m = b / a ed = I - (b / a) Xo

Si noti che la pendenza m è il quoziente tra la componente y del vettore director e la componente x di esso.

Esempio 4

Trova la forma standard della linea il cui vettore direttrice è u = (2, -1)

e che passa per il punto P = (1, 5).

m = -½ ed = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Trova un vettore direttrice della retta (L) che è l'intersezione del piano (Π): X - Y + Z = 3 e il piano (Ω): 2X + Y = 1.

Quindi scrivi la forma continua dell'equazione della linea (L).

Soluzione

Dall'equazione del gioco Y del piano (Ω): Y = 1 -2X

Quindi sostituiamo nell'equazione del piano (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Quindi parametrizziamo X, scegliamo la parametrizzazione X = λ

Ciò significa che la linea ha un'equazione vettoriale data da:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

che può essere riscritto come:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

con cui è chiaro che il vettore u = (1, -2, -3) è un vettore direttivo della retta (L).

La forma continua della linea (L) è:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Esercizio 2

Dato il piano 5X + a Y + 4Z = 5

e la retta la cui equazione è X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Determina il valore di a tale che il piano e la linea siano paralleli.

Soluzione 2

Il vettore n = (5, a, 4) è un vettore normale al piano.

Il vettore u = (1, 3, -2) è un vettore direzionale della linea.

Se la retta è parallela al piano, allora n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Riferimenti

1. Fleming, W. e Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Algebra lineare. Pearson Education.
3. Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analitica piana. Mérida - Venezuela: Editoriale Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vettori. Estratto da: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalcolo. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Concetti di base della geometria. Rowman e Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalcolo. Pearson Education.