VETTORI CONCORRENTI: CARATTERISTICHE, ESEMPI ED ESERCIZI - MATEMATICA - 2025

I vettori concorrenti sono gruppi di vettori i cui assi coincidono in un punto, formando tra ogni coppia di interni ed esterni un altro angolo. Un chiaro esempio è mostrato nella figura sotto, dove A, B e C sono vettori concorrenti tra loro.

D ed E a differenza del resto non lo sono. Ci sono angoli formati tra i vettori concorrenti AB, AC e CB. Sono chiamati angoli di relazione tra i vettori.

caratteristiche

-Hanno un punto in comune, che coincide con la loro origine: tutte le grandezze dei vettori concorrenti partono da un punto comune fino alle rispettive estremità.

-L'origine è considerata come il punto di azione del vettore: deve essere stabilito un punto di azione che sarà direttamente influenzato da ciascuno dei vettori concorrenti.

-Il suo dominio nel piano e nello spazio è rispettivamente R ² e R ³ : i vettori concorrenti sono liberi di coprire l'intero spazio geometrico.

-Permette notazioni diverse nello stesso gruppo di vettori. Secondo i rami di studio, nelle operazioni con i vettori sono presenti notazioni diverse.

Tipi di vettori

Il ramo dei vettori ha più suddivisioni, tra alcune possono essere denominate: parallela, perpendicolare, complanare, corrispondente, opposta e unitaria. I vettori concorrenti sono elencati qui e, come tutti quelli sopra citati, hanno molte applicazioni in diverse scienze.

Sono molto comuni nello studio dei vettori, perché rappresentano un'utile generalizzazione nelle operazioni con essi. Sia nel piano che nello spazio, i vettori concorrenti sono comunemente usati per rappresentare diversi elementi e studiarne l'influenza su un particolare sistema.

Notazione vettoriale

Esistono diversi modi per rappresentare un elemento vettoriale. I principali e più conosciuti sono:

cartesiano

Proposto da questo stesso approccio matematico, denota i vettori con una tripla corrispondente alle grandezze di ciascun asse (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Spazio A: (1, 1) Aereo

Polare

Servono solo a denotare vettori nel piano, sebbene nel calcolo integrale sia assegnata la componente di profondità. È composto da una magnitudine lineare re da un angolo rispetto all'asse polare Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Aereo A: (2, 45 ⁰ , 3) Spazio

Analitico

Definiscono le grandezze del vettore usando i versori. I versori (i + j + k) rappresentano i vettori unitari corrispondenti agli assi X, Y e

A: 3i + 2j - 3k

Sferica

Sono simili alla notazione polare, ma con l'aggiunta di un secondo angolo che spazia sul piano xy simboleggiato da δ.

A: (4, 60 ^o , π / 4)

Operazioni vettoriali simultanee

I vettori concorrenti sono principalmente usati per definire operazioni tra vettori, perché è più facile confrontare gli elementi dei vettori quando sono presentati contemporaneamente.

Somma (A + B)

La somma dei vettori concorrenti mira a trovare il vettore risultante V _r . Che, secondo il ramo di studio, corrisponde a un'azione finale

Ad esempio: 3 stringhe {LA, SI, DO} sono legate a una scatola, ciascuna estremità della stringa è trattenuta da un soggetto. Ciascuno dei 3 soggetti deve tirare la fune in una direzione diversa rispetto agli altri 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

La scatola potrà muoversi solo in una direzione, quindi V _r indicherà la direzione e la direzione del movimento della scatola.

Differenza (A - B)

Ci sono molti criteri riguardanti la differenza tra vettori, molti autori scelgono di escluderla e affermano che viene stabilita solo la somma tra i vettori, dove la differenza è circa la somma del vettore opposto. La verità è che i vettori possono essere sottratti algebricamente.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Prodotto scalare (A. B)

Conosciuto anche come prodotto scalare, genera un valore scalare che può essere correlato a varie grandezze a seconda del ramo di studio.

Per la geometria, indicare l'area del parallelogramma formato dalla coppia di vettori concorrenti tramite il metodo del parallelogramma. Per la fisica meccanica definisce il lavoro svolto da una forza F quando si sposta un corpo di una distanza Δr.

ѡ = F . Δr

Come indica il nome, genera un valore scalare ed è definito come segue:

Siano i vettori A e B.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Forma analitica:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Dove θ è l'angolo interno tra entrambi i vettori

-Forma algebrica:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Prodotto incrociato (A x B)

Il prodotto vettoriale o prodotto scalare di due vettori, definisce un terzo vettore C avente la qualità di essere perpendicolare a B e C . In fisica, il vettore di coppia τ è l' elemento base della dinamica rotazionale.

-Forma analitica:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Forma algebrica:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Movimento relativo: r _{A / B}

La base della relatività è il movimento relativo e i vettori concorrenti sono la base del movimento relativo. Posizioni, velocità e accelerazioni relative possono essere dedotte applicando il seguente ordine di idee.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Posizione relativa di A rispetto a B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Velocità relativa di A rispetto a B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Accelerazione relativa di A rispetto a B

Esempi: esercizi risolti

Esercizio 1

Siano A, B e C vettori concorrenti.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definire il vettore risultante V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definire il prodotto puntino (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-Calcola l'angolo tra A e C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Dove θ è l'angolo più corto tra i vettori

θ = 88,63 ⁰

-Trova un vettore perpendicolare ad A e B

Per questo, è necessario definire il prodotto vettoriale tra (-1, 3, 5) e (3, 5, -2). Come spiegato prima, viene costruita una matrice 3 x 3 in cui la prima riga è composta dai vettori tripla unità (i, j, k). Quindi la 2a e la 3a fila sono costituite dai vettori da operare, rispettando l'ordine operativo.

(A x B) = = io - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Esercizio 2

Siano V _a e V _{b rispettivamente} i vettori velocità di A e B. Calcola la velocità di B vista da A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

In questo caso viene richiesta la velocità relativa di B rispetto ad A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Questo è il vettore velocità di B visto da A. Dove viene descritto un nuovo vettore della velocità di B facendo riferimento a un osservatore posizionato in A e che si muove con la velocità di A.

Esercizi proposti

1-Costruisci 3 vettori A, B e C che sono concorrenti e metti in relazione 3 operazioni tra di loro attraverso un esercizio pratico.

2-Siano i vettori A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) e C: (-2, -1, 10). Trova vettori perpendicolari a: A e B, C e B, La somma A + B + C.

4-Determina 3 vettori che sono perpendicolari tra loro, senza tenere conto degli assi delle coordinate.

5-Definire il lavoro svolto da una forza che solleva un blocco di massa 5 kg, dal fondo di un pozzo profondo 20 m.

6-Mostra algebricamente che la sottrazione di vettori è uguale alla somma del vettore opposto. Giustifica i tuoi postulati.

7-Indica un vettore in tutte le notazioni sviluppate in questo articolo. (Cartesiano, polare, analitico e sferico).

8-Le forze magnetiche esercitate su un magnete che poggia su un tavolo, sono date dai seguenti vettori; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), O: (-3, 5, -4). Determina in quale direzione si muoverà il magnete se tutte le forze magnetiche agiscono contemporaneamente.

Riferimenti

1. Geometria euclidea e trasformazioni. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 gennaio 2004
2. Come risolvere i problemi di matematica applicata L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 aprile 2013
3. Concetti di base della geometria. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 ottobre. 2012
4. Vettori. Rocío Navarro Lacoba, 7 giugno. 2014
5. Algebra lineare. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006