TECNICHE DI CONTEGGIO: TECNICHE, APPLICAZIONI, ESEMPI, ESERCIZI - DUDAS - 2026

Le tecniche di conteggio sono una serie di metodi di probabilità per contare il numero di possibili disposizioni all'interno di un insieme o più insiemi di oggetti. Questi vengono utilizzati quando la creazione manuale dei conti diventa complicata a causa dell'elevato numero di oggetti e / o variabili.

Ad esempio, la soluzione a questo problema è molto semplice: immagina che il tuo capo ti chieda di contare gli ultimi prodotti arrivati ​​nell'ultima ora. In questo caso potresti andare a contare i prodotti uno per uno.

Immagina però che il problema sia questo: il tuo capo ti chiede di contare quanti gruppi di 5 prodotti dello stesso tipo si possono formare con quelli arrivati ​​nell'ultima ora. In questo caso, il calcolo è complicato. Per questo tipo di situazione vengono utilizzate le cosiddette tecniche di conteggio.

Queste tecniche sono varie, ma le più importanti si dividono in due principi fondamentali, che sono il moltiplicativo e l'additivo; permutazioni e combinazioni.

Principio moltiplicativo

applicazioni

Il principio moltiplicativo, insieme all'additivo, sono fondamentali per comprendere il funzionamento delle tecniche di conteggio. Nel caso del moltiplicativo, è costituito da quanto segue:

Immaginiamo un'attività che coinvolga un numero specifico di passaggi (contrassegniamo il totale come "r"), in cui il primo passaggio può essere eseguito in N1 modi, il secondo passaggio in N2 e il passaggio "r" in Nr modi. In questo caso l'attività potrebbe essere svolta dal numero di sagome risultanti da questa operazione: N1 x N2 x ……… .x Nr sagome

Questo è il motivo per cui questo principio è chiamato moltiplicativo e implica che ognuno dei passaggi necessari per svolgere l'attività deve essere eseguito uno dopo l'altro.

Esempio

Immaginiamo una persona che voglia costruire una scuola. Per fare ciò, considera che la base dell'edificio può essere costruita in due modi diversi, cemento o calcestruzzo. Per quanto riguarda i muri, possono essere fatti di adobe, cemento o mattoni.

Per quanto riguarda il tetto, può essere realizzato in cemento o lamiera zincata. Infine, il dipinto finale può essere eseguito solo in un modo. La domanda che sorge è la seguente: quanti modi ha per costruire la scuola?

Innanzitutto, consideriamo il numero di gradini, che sarebbero la base, i muri, il tetto e la vernice. In totale, 4 passi, quindi r = 4.

Il seguente sarebbe elencare le N:

N1 = modi per costruire la base = 2

N2 = modi per costruire i muri = 3

N3 = modi di realizzare il tetto = 2

N4 = modi di dipingere = 1

Pertanto, il numero di forme possibili sarebbe calcolato utilizzando la formula sopra descritta:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 modi di fare scuola.

Principio additivo

applicazioni

Questo principio è molto semplice, e consiste nel fatto che, nel caso di più alternative per svolgere la stessa attività, i modi possibili consistono nella somma dei diversi modi possibili per realizzare tutte le alternative.

In altre parole, se vogliamo svolgere un'attività con tre alternative, dove la prima alternativa può essere svolta in modi M, la seconda in N modi e l'ultima in modi W, l'attività può essere svolta in: M + N + ……… + Forme W.

Esempio

Immaginiamo questa volta una persona che voglia acquistare una racchetta da tennis. Per fare questo, hai tre marchi tra cui scegliere: Wilson, Babolat o Head.

Quando vai in negozio ti accorgi che la racchetta Wilson può essere acquistata con il manico di due diverse misure, L2 o L3 in quattro diversi modelli e può essere incordata o non incordata.

La racchetta Babolat, invece, ha tre manici (L1, L2 e L3), ci sono due diversi modelli e può anche essere incordata o non incordata.

La racchetta Head, da parte sua, è disponibile solo con un manico, la L2, in due diversi modelli e solo non incordata. La domanda è: in quanti modi questa persona ha per comprare la propria racchetta?

M = Numero di modi per selezionare una racchetta Wilson

N = Numero di modi per selezionare una racchetta Babolat

W = Numero di modi per selezionare una racchetta Head

Eseguiamo il principio del moltiplicatore:

M = 2 x 4 x 2 = 16 forme

N = 3 x 2 x 2 = 12 vie

W = 1 x 2 x 1 = 2 vie

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 modi per scegliere una racchetta.

Per sapere quando utilizzare il principio moltiplicativo e l'additivo, devi solo guardare se l'attività ha una serie di passaggi da eseguire, e se ci sono più alternative, l'additivo.

Permutazioni

applicazioni

Per capire cos'è una permutazione, è importante spiegare cos'è una combinazione in modo da poterle differenziare e sapere quando usarle.

Una combinazione sarebbe una disposizione di elementi in cui non siamo interessati alla posizione che ciascuno di essi occupa.

Una permutazione, d'altra parte, sarebbe una disposizione di elementi in cui siamo interessati alla posizione che ciascuno di essi occupa.

Facciamo un esempio per capire meglio la differenza.

Esempio

Immaginiamo una classe con 35 studenti e con le seguenti situazioni:

1. L'insegnante vuole che tre dei suoi studenti lo aiutino a mantenere pulita la classe o che distribuiscano i materiali agli altri studenti quando necessario.
2. L'insegnante vuole nominare i delegati di classe (un presidente, un assistente e un finanziere).

La soluzione sarebbe la seguente:

1. Immaginiamo che per voto, Juan, María e Lucía siano scelti per pulire la classe o consegnare i materiali. Ovviamente si sarebbero potuti formare altri gruppi di tre, tra i 35 possibili studenti.

Dobbiamo chiederci quanto segue: l'ordine o la posizione di ciascuno degli studenti è importante nella selezione?

Se ci pensiamo, vediamo che in realtà non è importante, poiché il gruppo sarà responsabile dei due compiti allo stesso modo. In questo caso, è una combinazione, poiché non siamo interessati alla posizione degli elementi.

1. Ora immaginiamo che Juan sia eletto presidente, Maria come assistente e Lucia come finanziera.

In questo caso, l'ordine sarebbe importante? La risposta è sì, perché se cambiamo gli elementi, il risultato cambia. Cioè, se invece di mettere Juan come presidente, lo mettessimo come assistente e María come presidente, il risultato finale cambierebbe. In questo caso è una permutazione.

Una volta compresa la differenza, otterremo le formule per le permutazioni e le combinazioni. Tuttavia, prima dobbiamo definire il termine "n!" (ene fattoriale), poiché verrà utilizzato nelle diverse formule.

n! = il prodotto da 1 a n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Usandolo con numeri reali:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

La formula per le permutazioni sarebbe la seguente:

nPr = n! / (nr)!

Con esso possiamo scoprire le disposizioni in cui l'ordine è importante e dove gli n elementi sono diversi.

Combinazioni

applicazioni

Come abbiamo commentato in precedenza, le combinazioni sono le disposizioni in cui non ci interessa la posizione degli elementi.

La sua formula è la seguente:

nCr = n! / (nr)! r!

Esempio

Se ci sono 14 studenti che vogliono fare volontariato per pulire l'aula, quanti gruppi di pulizia possono essere formati se ogni gruppo deve essere di 5 persone?

La soluzione, quindi, sarebbe la seguente:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 gruppi

Esercizi risolti

Esercizio 1

Fonte: Pixabay.com

La madre chiede a Natalia di andare a fare la spesa e di comprarle una bibita per rinfrescarsi. Quando Natalia chiede da bere all'impiegato, lui le dice che ci sono quattro gusti di bibite analcoliche, tre tipi e tre dimensioni.

I gusti delle bibite possono essere: cola, limone, arancia e menta.

I tipi di cola possono essere: regolare, senza zucchero, senza caffeina.

Le dimensioni possono essere: piccola, media e grande.

La madre di Natalia non ha specificato che tipo di bibita desiderava: in quanti modi Natalia ha per acquistarla?

Soluzione

M = numero di taglia e tipo che puoi selezionare quando scegli la cola.

N = Numero di dimensioni e tipo che puoi selezionare quando scegli la soda al limone.

W = Numero di dimensioni e tipo che è possibile selezionare quando si sceglie l'aranciata.

Y = Numero di dimensioni e tipo che puoi selezionare quando scegli la tua bibita alla menta.

Eseguiamo il principio del moltiplicatore:

M = 3 × 3 = 9 vie

N = 3 × 3 = 9 vie

W = 3 × 3 = 9 modi

Y = 3 × 3 = 9 modi

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 modi per selezionare la soda.

Esercizio 2

Fonte: pixabay.com

Un club sportivo pubblicizza laboratori ad accesso gratuito per bambini per imparare a pattinare. Vengono iscritti 20 bambini, quindi decidono di dividerli in due gruppi di dieci persone in modo che gli istruttori possano insegnare le classi più comodamente.

A loro volta, decidono di disegnare in quale gruppo cadrà ogni bambino. In quanti gruppi diversi può entrare un bambino?

Soluzione

In questo caso, il modo per trovare una risposta è usare la tecnica di combinazione, la cui formula era: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (numero di bambini)

r = 10 (dimensione del gruppo)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184.756 gruppi.

Riferimenti

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fondamenti logici e misurazione della probabilità soggettiva". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduzione alla statistica matematica (6a ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.