- Storia delle tassellature
- Tassellazioni regolari
- Nomenclatura
- Esempio 1: tassellatura triangolare
- Esempio 2: tassellatura quadrata
- Esempio 3: tassellatura esagonale
- Tassellazioni semiregolari
- Esempio 4: tassellatura tri-esagonale
- Esempio 5: tassellatura esagonale smussata
- Esempio 6: tassellazione rombi-tri-esagonale
- Tassellazioni irregolari
- Esempio 7
- Esempio 8
- Esempio 9
- Esempio 10: tassellatura del Cairo
- Esempio 11: tassellatura di Al-Andalus
- Esempio 12: tassellazione nei videogiochi
- Riferimenti
Le piastrellature sono superfici rivestite di una o più figure chiamate tessere. Sono ovunque: nelle strade e negli edifici di ogni tipo. Le tessere o tessere sono pezzi piani, generalmente poligoni con copie congruenti o isometriche, che vengono posizionati seguendo uno schema regolare. In questo modo non rimangono spazi scoperti e le piastrelle oi mosaici non si sovrappongono.
Nel caso in cui si utilizzi un unico tipo di mosaico formato da un poligono regolare, si ha una tassellatura regolare, ma se si utilizzano due o più tipi di poligoni regolari si tratta di una tassellatura semiregolare.
Figura 1. Pavimento piastrellato con tassellatura irregolare, perché i rettangoli sono poligoni non regolari, anche se i quadrati lo sono. Fonte: Pixabay.
Infine, quando i poligoni che la tassellatura forma non sono regolari, allora è una tassellatura irregolare.
Il tipo più comune di tassellatura è quello formato da mosaici rettangolari e particolarmente quadrati. Nella figura 1 abbiamo un buon esempio.
Storia delle tassellature
La tassellatura è stata utilizzata per migliaia di anni per rivestire pavimenti e pareti di palazzi e templi di diverse culture e religioni.
Ad esempio, la civiltà sumera che fiorì intorno al 3500 a.C. a sud della Mesopotamia, tra i fiumi Eufrate e Tigri, usò tassellature nella loro architettura.
Figura 2. Tassellazioni sumere presso la porta Istar. Fonte: Wikimedia Commons.
Anche le tassellature hanno suscitato l'interesse di matematici di tutte le età: a partire da Archimede nel III secolo a.C., seguito da Johannes Keplero nel 1619, Camille Jordan nel 1880, fino ai tempi contemporanei con Roger Penrose.
Penrose ha creato una tassellatura non periodica nota come tassellazione Penrose. Questi sono solo alcuni nomi di scienziati che hanno contribuito molto alla tassellatura.
Tassellazioni regolari
Le tassellazioni regolari sono realizzate con un solo tipo di poligono regolare. D'altra parte, affinché la tassellatura sia considerata regolare, ogni punto del piano deve:
-Appartengono all'interno del poligono
-Oppure al bordo di due poligoni adiacenti
-Infine può appartenere al vertice comune di almeno tre poligoni.
Con le limitazioni di cui sopra si può dimostrare che solo triangoli equilateri, quadrati ed esagoni possono formare una tassellatura regolare.
Nomenclatura
Esiste una nomenclatura per indicare le tassellazioni che consiste nell'elencare in senso orario e separati da un punto, il numero di lati dei poligoni che circondano ogni nodo (o vertice) della tassellazione, partendo sempre dal poligono con il numero più basso lati.
Questa nomenclatura si applica alle tassellazioni regolari e semi-regolari.
Esempio 1: tassellatura triangolare
La figura 3 mostra una tassellatura triangolare regolare. Va notato che ogni nodo della tassellatura triangolare è il vertice comune di sei triangoli equilateri.
Il modo per denotare questo tipo di tassellatura è 3.3.3.3.3.3, che è anche indicato con 3 6 .
Figura 3. Tassellazione triangolare regolare 3.3.3.3.3.3. Fonte: wikimedia commons
Esempio 2: tassellatura quadrata
La figura 4 mostra una tassellatura regolare composta solo da quadrati. Va notato che ogni nodo nella tassellatura è circondato da quattro quadrati congruenti. La notazione che viene applicata a questo tipo di tassellatura quadrata è: 4.4.4.4 o in alternativa 4 4
Figura 4. Tassellatura quadrata 4.4.4.4. Fonte: wikimedia commons.
Esempio 3: tassellatura esagonale
In una tassellatura esagonale ogni nodo è circondato da tre esagoni regolari come mostrato nella figura 5. La nomenclatura per una tassellatura esagonale regolare è 6.6.6 o in alternativa 6 3 .
Figura 5. Tassellatura esagonale 6.6.6. Fonte: wikimedia commons.
Tassellazioni semiregolari
Le tassellazioni semiregolari o tassellature di Archimede sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari. Ogni nodo è circondato dai tipi di poligoni che compongono la tassellatura, sempre nello stesso ordine, e la condizione del bordo è completamente condivisa con il vicino.
Sono presenti otto tassellazioni semiregolari:
- 3.6.3.6 (tassellatura tri-esagonale)
- 3.3.3.3.6 (tassellatura esagonale smussata)
- 3.3.3.4.4 (tassellatura triangolare allungata)
- 3.3.4.3.4 (tassellatura quadrata smussata)
- 3.4.6.4 (tassellatura rombo-tri-esagonale)
- 4.8.8 (tassellatura quadrata troncata)
- 3.12.12 (tassellazione esagonale troncata)
- 4.6.12 (tassellazione troncoconica)
Di seguito sono riportati alcuni esempi di tassellazioni semiregolari.
Esempio 4: tassellatura tri-esagonale
È quello composto da triangoli equilateri ed esagoni regolari nella struttura 3.6.3.6, il che significa che un nodo della tassellatura è circondato (fino a completare un giro) da un triangolo, un esagono, un triangolo e un esagono. La figura 6 mostra una tale tassellatura.
Figura 6. La tassellazione tri-esagonale (3.6.3.6) è un esempio di tassellatura semiregolare. Fonte: Wikimedia Commons.
Esempio 5: tassellatura esagonale smussata
Come la tassellatura nell'esempio precedente, anche questa è composta da triangoli ed esagoni, ma la loro distribuzione attorno a un nodo è 3.3.3.3.6. La figura 7 illustra chiaramente questo tipo di tassellatura.
Figura 7. La tassellatura esagonale smussata è costituita da un esagono circondato da 16 triangoli nella configurazione 3.3.3.3.6. Fonte: Wikimedia Commons.
Esempio 6: tassellazione rombi-tri-esagonale
Si tratta di una tassellatura composta da triangoli, quadrati ed esagoni, nella configurazione 3.4.6.4, mostrata in figura 8.
Figura 8. Tassellatura semiregolare composta da un triangolo, un quadrato e un esagono nella configurazione 3.4.6.4. Fonte: Wikimedia Commons.
Tassellazioni irregolari
Le tassellazioni irregolari sono quelle che sono formate da poligoni irregolari o da poligoni regolari ma non soddisfano il criterio che un nodo sia un vertice di almeno tre poligoni.
Esempio 7
La figura 9 mostra un esempio di tassellatura irregolare, in cui tutti i poligoni sono regolari e congruenti. È irregolare perché un nodo non è un vertice comune di almeno tre quadrati e ci sono anche quadrati vicini che non condividono completamente uno spigolo.
Figura 9. Anche se tutte le tessere sono quadrati congruenti, questo è un chiaro esempio di tassellatura irregolare. Fonte: F. Zapata.
Esempio 8
Il parallelogramma affianca una superficie piana, ma a meno che non sia un quadrato non può formare una tassellatura regolare.
Figura 10. Una tassellatura formata da parallelogrammi è irregolare, poiché i suoi mosaici sono poligoni non regolari. Fonte: F. Zapata.
Esempio 9
Esagoni irregolari con simmetria centrale tassellano una superficie piana, come mostrato nella figura seguente:
Figura 11. Esagoni con simmetria centrale anche quando non regolari tassellano il piano. Fonte: F. Zapata.
Esempio 10: tassellatura del Cairo
Si tratta di una tassellatura molto interessante, composta da pentagoni con lati di uguale lunghezza ma con angoli disuguali, due dei quali sono diritti e gli altri tre hanno 120º ciascuno.
Il suo nome deriva dal fatto che questa tassellatura si trova nella pavimentazione di alcune strade del Cairo in Egitto. La figura 12 mostra la tassellatura del Cairo.
Figura 12. Mosaico del Cairo. Fonte: Wikimedia Commons.
Esempio 11: tassellatura di Al-Andalus
Le tassellature in alcune parti dell'Andalusia e del Nord Africa sono caratterizzate da geometria ed epigrafia, oltre ad elementi ornamentali come la vegetazione.
La tassellatura di palazzi come quello dell'Alhambra era costituita da piastrelle composte da pezzi di ceramica di molti colori, con forme multiple (se non infinite) che si scatenavano in motivi geometrici.
Figura 13. Mosaico del palazzo dell'Alhambra. Tartaglia / Pubblico dominio
Esempio 12: tassellazione nei videogiochi
Conosciuto anche come tesellation, è una delle novità più popolari nei videogiochi. Si tratta di creare texture per simulare la tassellatura dei diversi scenari che appaiono nel simulatore.
Questo è un chiaro riflesso che questi rivestimenti continuano ad evolversi, oltrepassando i confini della realtà.
Riferimenti
- Goditi la matematica. Mosaici. Estratto da: enjoyymatematicas.com
- Rubiños. Mosaici risolti esempi. Estratto da: matematicasn.blogspot.com
- Weisstein, Eric W. "tassellatura demiregolare". Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
- Wikipedia. Tassellazione. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Tessellazione regolare. Estratto da: es.wikipedia.com