TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE: COMPOSIZIONE, TIPOLOGIE ED ESEMPI - MATEMATICA - 2026

Le trasformazioni isometriche sono cambiamenti di posizione o orientamento di una data figura che non ne alterano la forma o le dimensioni. Queste trasformazioni sono classificate in tre tipi: traslazione, rotazione e riflessione (isometria). In generale, le trasformazioni geometriche ti consentono di creare una nuova figura da una data.

Una trasformazione in una figura geometrica significa che, in qualche modo, ha subito qualche cambiamento; cioè è stato alterato. Secondo il senso dell'originale e del simile nel piano, le trasformazioni geometriche possono essere classificate in tre tipi: isometriche, isomorfe e anamorfiche.

caratteristiche

Le trasformazioni isometriche si verificano quando vengono preservate le magnitudini dei segmenti e gli angoli tra la figura originale e la figura trasformata.

In questo tipo di trasformazione, né la forma né la dimensione della figura vengono alterate (sono congruenti), è solo un cambiamento nella sua posizione, sia nell'orientamento che nella direzione. In questo modo, le cifre iniziali e finali saranno simili e geometricamente congruenti.

L'isometria si riferisce all'uguaglianza; in altre parole, le figure geometriche saranno isometriche se hanno la stessa forma e dimensione.

Nelle trasformazioni isometriche l'unica cosa che si può osservare è un cambio di posizione nel piano, si verifica un movimento rigido grazie al quale la figura passa da una posizione iniziale a una finale. Questa figura è chiamata omologa (simile) dell'originale.

Esistono tre tipi di movimenti che classificano una trasformazione isometrica: traslazione, rotazione e riflessione o simmetria.

tipi

Per traduzione

Sono quelle isometrie che consentono di spostare tutti i punti del piano in linea retta in una data direzione e distanza.

Quando una figura viene trasformata per traslazione, non cambia il suo orientamento rispetto alla posizione iniziale, né perde le sue misure interne, le misure dei suoi angoli e lati. Questo tipo di spostamento è definito da tre parametri:

- Una direzione, che può essere orizzontale, verticale o obliqua.

- Una direzione, che può essere a sinistra, a destra, in alto o in basso.

- Distanza o grandezza, che è la lunghezza dalla posizione iniziale alla fine di qualsiasi punto che si sposta.

Affinché una trasformazione isometrica mediante traslazione sia soddisfatta, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

- La figura deve mantenere sempre tutte le sue dimensioni, sia lineari che angolari.

- La figura non cambia la sua posizione rispetto all'asse orizzontale; cioè, il suo angolo non varia mai.

- Le traduzioni saranno sempre riassunte in una, indipendentemente dal numero di traduzioni effettuate.

In un piano dove il centro è un punto O, con coordinate (0,0), la traslazione è definita da un vettore T (a, b), che indica lo spostamento del punto iniziale. Vale a dire:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Ad esempio, se viene applicata una traslazione T (-4, 7) al punto di coordinate P (8, -2), otteniamo:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Nell'immagine seguente (a sinistra) si può vedere come il punto C si sia spostato in coincidenza con D. Lo ha fatto in direzione verticale, la direzione era verso l'alto e la distanza o magnitudine CD era di 8 metri. Nell'immagine a destra si osserva la traslazione di un triangolo:

A rotazione

Sono quelle isometrie che permettono alla figura di ruotare tutti i punti di un piano. Ogni punto ruota seguendo un arco che ha un angolo costante e un punto fisso (centro di rotazione) determinato.

Cioè, tutta la rotazione sarà definita dal suo centro di rotazione e angolo di rotazione. Quando una figura viene trasformata per rotazione, mantiene la misura dei suoi angoli e lati.

La rotazione avviene in una certa direzione, è positiva quando la rotazione è antioraria (la direzione opposta a come girano le lancette dell'orologio) e negativa quando la sua rotazione è in senso orario.

Se un punto (x, y) viene ruotato rispetto all'origine - cioè il suo centro di rotazione è (0,0) -, ad un angolo di 90 ^o 360 ^o le coordinate dei punti saranno:

Nel caso in cui la rotazione non abbia centro all'origine, l'origine del sistema di coordinate deve essere trasferita alla nuova origine data, in modo da poter ruotare la figura con l'origine come centro.

Ad esempio, se il punto P (-5,2) viene applicato una rotazione di 90 ^o , intorno all'origine e positivamente le sue nuove coordinate sono (-2,5).

Per riflessione o simmetria

Sono quelle trasformazioni che invertono i punti e le figure dell'aereo. Questa inversione può essere rispetto a un punto oppure può essere anche rispetto a una linea.

In altre parole, in questo tipo di trasformazione, ogni punto della figura originale è associato ad un altro punto (immagine) della figura omologa, in modo tale che il punto e la sua immagine siano alla stessa distanza da una linea chiamata asse di simmetria. .

Pertanto, la parte sinistra della figura sarà un riflesso della parte destra, senza modificarne la forma o le dimensioni. La simmetria trasforma una figura in un'altra uguale ma in direzione opposta, come si può vedere nell'immagine seguente:

La simmetria è presente in molti aspetti, come in alcune piante (girasoli), animali (pavone) e fenomeni naturali (fiocchi di neve). L'essere umano lo riflette sul suo viso, considerato un fattore di bellezza. La riflessione o la simmetria possono essere di due tipi:

Simmetria centrale

È quella trasformazione che avviene rispetto a un punto, in cui la figura può cambiare orientamento. Ogni punto della figura originale e la sua immagine sono alla stessa distanza da un punto O, chiamato centro di simmetria. La simmetria è centrale quando:

- Sia il punto che la sua immagine e il centro appartengono alla stessa linea.

- Con una rotazione di 180 ^o del centro O, si ottiene una cifra uguale all'originale.

- Le linee della figura iniziale sono parallele alle linee della figura formata.

- Il senso della figura non cambia, sarà sempre in senso orario.

Composizione di una rotazione

La composizione di due spire con lo stesso centro risulta in un'altra svolta, che ha lo stesso centro e la cui ampiezza sarà la somma delle ampiezze delle due spire.

Se il centro delle curve ha un centro diverso, il taglio della bisettrice di due segmenti di punti simili sarà il centro della svolta.

Composizione di una simmetria

In questo caso, la composizione dipenderà da come viene applicata:

- Se la stessa simmetria viene applicata due volte, il risultato sarà un'identità.

- Se vengono applicate due simmetrie rispetto a due assi paralleli il risultato sarà una traslazione, e il suo spostamento è il doppio della distanza di quegli assi:

- Se vengono applicate due simmetrie rispetto a due assi che si intersecano nel punto O (centro), si otterrà una rotazione con centro in O e il suo angolo sarà il doppio dell'angolo formato dagli assi:

Riferimenti

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