I tipi di integrali che troviamo nel calcolo sono gli integrali indefiniti e gli integrali definiti. Sebbene gli integrali definiti abbiano molte più applicazioni rispetto agli integrali indefiniti, è necessario prima imparare come risolvere gli integrali indefiniti.
Una delle applicazioni più interessanti degli integrali definiti è il calcolo del volume di un solido di rivoluzione. Entrambi i tipi di integrali hanno le stesse proprietà di linearità e anche le tecniche di integrazione non dipendono dal tipo di integrale.
Solido di rivoluzione
Ma nonostante siano molto simili, c'è una differenza principale; nel primo tipo di integrale il risultato è una funzione (che non è specifica) mentre nel secondo tipo il risultato è un numero.
Tipi fondamentali di integrali
Il mondo degli integrali è molto ampio ma al suo interno possiamo distinguere due tipi fondamentali di integrali, che hanno grande applicabilità nella vita di tutti i giorni.
1- Integrali indefiniti
Se F '(x) = f (x) per ogni x nel dominio di f, diciamo che F (x) è una antiderivativa, una primitiva o un integrale di f (x).
Osserviamo invece che (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), il che implica che l'integrale di una funzione non è unico, dato che dando valori differenti alla costante C si otterranno valori differenti antiderivativi.
Per questo motivo F (x) + C si chiama Integrale Indefinito di f (x) e C si chiama costante di integrazione e lo scriviamo nel modo seguente
Integrale indefinito
Come possiamo vedere, l'integrale indefinito della funzione f (x) è una famiglia di funzioni.
Ad esempio, se vuoi trovare l'integrale indefinito della funzione f (x) = 3x², devi prima trovare una antiderivativa di f (x).
È facile vedere che F (x) = x³ è un antiderivativo, poiché F '(x) = 3x². Pertanto, si può concludere che
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Integrali definiti
Sia y = f (x) una funzione continua reale su un intervallo chiuso e sia F (x) un'antiderivativa di f (x). L'integrale definito di f (x) tra i limiti aeb è chiamato numero F (b) -F (a), ed è indicato come segue
Teorema fondamentale del calcolo
La formula mostrata sopra è meglio conosciuta come "Il teorema fondamentale del calcolo". Qui "a" è chiamato limite inferiore e "b" è chiamato limite superiore. Come puoi vedere, l'integrale definito di una funzione è un numero.
In questo caso, calcolando nell'intervallo l'integrale definito di f (x) = 3x², si otterrà un numero.
Per determinare questo numero scegliamo F (x) = x³ come antiderivativo di f (x) = 3x². Quindi, calcoliamo F (3) -F (0) che ci dà il risultato 27-0 = 27. In conclusione, l'integrale definito di f (x) sull'intervallo è 27.
Si può notare che se si sceglie G (x) = x³ + 3, allora G (x) è un antiderivativo di f (x) diverso da F (x), ma questo non influisce sul risultato poiché G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Per questo motivo la costante di integrazione non compare negli integrali definiti.
Una delle applicazioni più utili di questo tipo di integrale è che ci permette di calcolare l'area (volume) di una figura piana (di un solido di rivoluzione), stabilendo opportune funzioni e limiti di integrazione (e un asse di rotazione).
All'interno degli integrali definiti possiamo trovare varie estensioni di esso, come integrali di linea, integrali di superficie, integrali impropri, integrali multipli, tra gli altri, tutti con applicazioni molto utili nella scienza e nell'ingegneria.
Riferimenti
- Casteleiro, JM (2012). È facile da integrare? Manuale di autoapprendimento. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM e Gómez-Álvarez, RP (2002). Calcolo integrale (Illustrato ed.). Madrid: editoriale ESIC.
- Fleming, W. e Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W. e Varberg, DE (1989). Precalculus matematica: un approccio alla risoluzione dei problemi (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Calcolo integrale. Editori e distributori Atlantic.
- Purcell, EJ, Varberg, D. e Rigdon, SE (2007). Calcolo (Nono ed.). Prentice Hall.