SIMMETRIA CENTRALE: PROPRIETÀ, ESEMPI ED ESERCIZI - MATEMATICA - 2025

Due punti A e A 'hanno simmetria centrale rispetto ad un punto O quando il segmento AA' lo attraversa ed è anche il punto medio di AA '. Il punto O è chiamato il centro di simmetria.

Il simmetrico centrale di un triangolo ABC rispetto a un punto O, è un altro triangolo A'B'C 'che ha le seguenti caratteristiche:

-I segmenti omologhi sono di uguale lunghezza

-I loro angoli corrispondenti hanno la stessa misura.

Figura 1. Triangolo ABC e la sua A'B'C 'simmetrica. Fonte: F. Zapata.

La figura 1 mostra un triangolo ABC (rosso) e la sua simmetria centrale A'B'C '(verde), rispetto al centro di simmetria O.

In questa stessa figura, un osservatore attento si renderebbe conto che lo stesso risultato si ottiene applicando una rotazione del triangolo originale, purché sia ​​di 180º e sia centrato su O.

Pertanto, una simmetria centrale è equivalente a una rotazione di 180 ° rispetto al centro di simmetria.

Proprietà della simmetria centrale

Una simmetria centrale ha le seguenti proprietà:

-Il centro di simmetria è il punto medio del segmento che unisce un punto con la sua simmetria.

-Un punto simmetrico di un altro che si trova nel centro di simmetria, coincide con il centro di simmetria.

-Il simmetrico centrale di un triangolo è un triangolo congruente (uguale) all'originale.

-L'immagine per simmetria centrale di un cerchio è un altro cerchio di raggio uguale.

-Una circonferenza ha simmetria centrale rispetto al proprio centro.

Figura 2. Design con simmetria centrale. Fonte: Pixabay.

-L'ellisse ha simmetria centrale rispetto al suo centro.

-Un segmento ha una simmetria centrale rispetto al suo punto medio.

-Il triangolo equilatero non ha simmetria centrale rispetto al suo centro, perché la sua simmetria, sebbene congruente al primo, dà un triangolo equilatero ruotato.

-I quadrati hanno simmetria centrale rispetto al loro centro.

-Un pentagono manca di simmetria centrale rispetto al suo centro.

-I poligoni regolari hanno una simmetria centrale quando hanno un numero pari di lati.

Esempi

I criteri di simmetria hanno molte applicazioni nella scienza e nell'ingegneria. La simmetria centrale è presente in natura, ad esempio i cristalli di ghiaccio e le ragnatele hanno questo tipo di simmetria.

Inoltre, molti problemi sono facilmente risolvibili quando si approfitta dell'esistenza della simmetria centrale e di altri tipi di simmetria. Pertanto, è conveniente identificare rapidamente quando si verifica.

Figura 3. I cristalli di ghiaccio hanno una simmetria centrale. Fonte: Pixabay.

Esempio 1

Dato un punto P di coordinate (a, b), dobbiamo trovare le coordinate del suo simmetrico P 'rispetto all'origine O delle coordinate (0, 0).

La prima cosa è costruire il punto P ', per il quale si traccia una linea che passa per l'origine O e per il punto P. L'equazione di questa linea è y = (b / a) x.

Ora chiamiamo (a ', b') le coordinate del punto simmetrico P '. Il punto P 'deve trovarsi sulla retta che passa per O e quindi è vero: b' = (b / a) a '. Inoltre, la distanza OP deve essere uguale a OP ', che in forma analitica si scrive così:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Quanto segue è sostituire b '= nell'espressione precedente e quadrare entrambi i lati dell'uguaglianza per eliminare la radice quadrata: (a ² + b ² ) =

Estraendo il fattore comune e semplificando, otteniamo che a ' ² = a ² . Questa equazione ha due soluzioni reali: a '= + a o a' = -a.

Per ottenere b ', usiamo di nuovo b' = (b / a) a '. Se si sostituisce la soluzione positiva di a ', si arriva a che b' = b. E quando viene sostituita la soluzione negativa, allora b '= -b.

La soluzione positiva dà per P 'lo stesso punto P, quindi viene scartata. La soluzione negativa fornisce sicuramente le coordinate del punto simmetrico:

P ': (-a, -b)

Esempio 2

È necessario dimostrare che un segmento AB e il suo simmetrico centrale A'B 'hanno la stessa lunghezza.

Partendo dalle coordinate del punto A, che sono (Ax, Ay) e quelle del punto B: (Bx, By), la lunghezza del segmento AB è data da:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Per analogia, il segmento simmetrico A'B 'avrà lunghezza data da:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ² )

Le coordinate del punto simmetrico A 'sono Ax' = -Ax e Ay '= -Ay. Allo stesso modo quelli di B 'sono Bx' = -Bx e By '= -By. Se queste coordinate vengono sostituite nell'equazione della distanza d (A'B ') abbiamo:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) che è equivalente a:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Viene così dimostrato che entrambi i segmenti hanno la stessa lunghezza.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Mostra analiticamente che il centro simmetrico O di un cerchio di raggio R e centro O è lo stesso cerchio originale.

Soluzione

L'equazione di un cerchio con raggio R e centro O (0,0) è:

x ² + y ² = R ² (Equazione della circonferenza C)

Se in ogni punto P della circonferenza y di coordinate (x, y) si trova il suo simmetrico P 'di coordinate (x', y '), l'equazione della circonferenza simmetrica è:

x ' ² + y' ² = R ² (Equazione del cerchio simmetrico C ')

Ci riferiamo ora al risultato dell'esempio 1, in cui si conclude che le coordinate di un punto P ', simmetrico a P e con coordinate (a, b), sono (-a, -b).

Ma in questo esercizio, il punto P ha coordinate (x, y), quindi il suo simmetrico P 'avrà coordinate x' = -xe y '= -y. Sostituendo questo nell'equazione del cerchio simmetrico abbiamo:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Che è equivalente a: x ² + y ² = R ² , concludendo che il simmetrico centrale di un cerchio rispetto al suo centro è il cerchio stesso.

- Esercizio 2

Mostra in forma geometrica che la simmetria centrale preserva gli angoli.

Soluzione

Figura 4. Costruzione dei punti simmetrici per l'esercizio 2. Fonte: F. Zapata.

Ci sono tre punti A, B e C sull'aereo. Le sue simmetriche A ', B' e C 'sono costruite rispetto al centro di simmetria O, come mostrato in figura 4.

Ora dobbiamo mostrare che l'angolo ∡ABC = β ha la stessa misura dell'angolo ∡A'B'C '= β'.

Poiché C e C 'sono simmetrici, allora OC = OC'. Allo stesso modo OB = OB 'e OA = OA'. D'altra parte, l'angolo ∡BOC = ∡B'OC 'perché sono opposti dal vertice.

Pertanto i triangoli BOC e B'OC 'sono congruenti perché hanno un angolo uguale tra due lati uguali.

Poiché BOC è congruente a B'OC ', gli angoli γ e γ' sono uguali. Ma questi angoli, oltre a soddisfare γ = γ ', sono alternanze interne tra le linee BC e B'C', il che implica che la linea BC è parallela a B'C '.

Allo stesso modo BOA è congruente a B'OA 'da cui segue che α = α'. Ma α e α 'sono angoli interni alternati tra le linee BA e B'A', da cui si conclude che la linea BA è parallela a B'A '.

Poiché l'angolo ∡ABC = β ha i lati paralleli all'angolo ∡A'B'C '= β' ed entrambi sono acuti, si conclude che:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Dimostrando in questo modo che la simmetria centrale conserva la misura degli angoli.

Riferimenti

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centro culturale americano.
2. Leggi e formule matematiche. Sistemi di misura angolari. Estratto da: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Estratto da: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simmetria centrale. Estratto da: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Trasportatore. Estratto da: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Angoli interni ed esterni coniugati. Estratto da: lifeder.com