COSTANTE DI PROPORZIONALITÀ: COS'È, CALCOLO, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

La costante di proporzionalità è un elemento numerico relazionale, utilizzato per definire lo schema di similarità tra 2 quantità che vengono alterate simultaneamente. È molto comune rappresentarla come funzione lineare in modo generico usando l'espressione F (X) = kX, ma questa non è l'unica rappresentazione di una possibile proporzionalità.

Ad esempio, la relazione tra X e Y nella funzione Y = 3x ha una costante di proporzionalità uguale a 3. Si osserva che al crescere della variabile indipendente X, cresce anche la variabile dipendente Y, tre volte il suo valore precedente.

Le alterazioni applicate a una variabile hanno ripercussioni immediate sull'altra, per cui esiste un valore noto come costante di proporzionalità. Questo serve per mettere in relazione le diverse grandezze che entrambe le variabili acquisiscono.

Qual è la costante di proporzionalità e tipi

In base all'andamento nel cambiamento delle variabili, le proporzionalità possono essere classificate in 2 tipologie.

Proporzionalità diretta

Suggerisce una relazione unidirezionale tra due quantità. In esso, se la variabile indipendente mostra una certa crescita, crescerà anche la variabile dipendente. Allo stesso modo, qualsiasi diminuzione della variabile indipendente provocherà una diminuzione della grandezza di Y.

Ad esempio, la funzione lineare utilizzata nell'introduzione; Y = 3X, corrisponde a un rapporto diretto di proporzionalità. Questo perché l'aumento della variabile indipendente X provocherà un triplo aumento del valore precedente assunto dalla variabile dipendente Y.

Allo stesso modo, la variabile dipendente diminuirà tre volte il suo valore quando X diminuisce di grandezza.

Il valore della costante di proporzionalità "K" in una relazione diretta è definito come K = Y / X.

Proporzionalità inversa o indiretta

In questo tipo di funzioni, la relazione tra le variabili è presentata in modo antonimo, dove la crescita o la diminuzione della variabile indipendente corrisponde rispettivamente alla diminuzione o alla crescita della variabile dipendente.

Ad esempio, la funzione F (x) = k / x è una relazione inversa o indiretta. Poiché il valore della variabile indipendente inizia ad aumentare, il valore di k sarà diviso per un numero crescente, facendo diminuire il valore della variabile dipendente in base alla proporzione.

In base al valore assunto da K è possibile definire l'andamento della funzione proporzionale inversa. Se k> 0, la funzione diminuirà su tutti i numeri reali. E il tuo grafico sarà nel 1 ° e 3 ° quadrante.

Al contrario, se il valore di K è negativo o minore di zero, la funzione sarà crescente e il suo grafico si troverà nel 2 ° e 4 ° quadrante.

Come viene calcolato?

Esistono diversi contesti in cui può essere richiesta la definizione della costante di proporzionalità. Nei diversi casi verranno mostrati diversi dati sul problema, dove lo studio di questi produrrà finalmente il valore di K.

In modo generico, quanto sopra può essere ricapitolato. I valori di K corrispondono a due espressioni a seconda del tipo di proporzionalità presente:

- Diretto: K = Y / X

- Inversa o indiretta: K = YX

Secondo il suo grafico

A volte il grafico di una funzione sarà noto solo parzialmente o completamente. In questi casi sarà necessario, tramite analisi grafica, determinare il tipo di proporzionalità. Successivamente sarà necessario definire una coordinata che permetta di verificare i valori di X e Y da applicare alla corrispondente formula di K.

I grafici che si riferiscono alle proporzionalità dirette sono lineari. D'altra parte, i grafici delle funzioni proporzionali inverse assumono solitamente la forma di iperboli.

Secondo la tabella dei valori

In alcuni casi, è presente una tabella di valori con i valori corrispondenti a ciascuna iterazione della variabile indipendente. Di solito ciò comporta la creazione del grafico oltre a definire il valore di K.

Secondo l'espressione analitica

Restituisce l'espressione che definisce analiticamente la funzione. Il valore di K può essere risolto direttamente, oppure può anche essere dedotto dall'espressione stessa.

Per regola diretta o composta del tre

In altri modelli di esercizio vengono presentati alcuni dati che si riferiscono alla relazione tra i valori. Ciò rende necessario applicare la regola diretta o composta del tre per definire altri dati richiesti nell'esercizio.

Storia

Il concetto di proporzionalità è sempre stato in circolazione. Non solo nella mente e nel lavoro dei grandi matematici, ma nella vita quotidiana della popolazione, per la sua praticità e applicabilità.

È molto comune trovare situazioni che richiedono un approccio di proporzionalità. Questi sono presentati in ogni caso in cui è necessario confrontare variabili e fenomeni che hanno determinate relazioni.

Attraverso una linea temporale possiamo caratterizzare i momenti storici, in cui sono stati applicati i progressi matematici in materia di proporzionalità.

- II secolo a.C. In Grecia viene adottato il sistema di immagazzinamento delle frazioni e delle proporzioni.

- V secolo aC Viene scoperta anche in Grecia la proporzione che mette in relazione il lato e la diagonale di un quadrato.

- 600 a.C. Talete di Mileto presenta il suo teorema sulla proporzionalità.

- Anno 900. Il sistema decimale precedentemente utilizzato dall'India è ampliato in rapporti e proporzioni. Contributo degli arabi.

- XVII secolo. I contributi sulle proporzioni arrivano nel calcolo di Eulero.

- XIX secolo. Gauss contribuisce al concetto di numero complesso e proporzione.

- XX secolo. La proporzionalità come modello di funzione è definita da Azcarate e Deulofeo.

Esercizi risolti

Esercizio 1

È necessario calcolare il valore delle variabili x, y, ze g. Conoscere le seguenti relazioni proporzionali:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

Procediamo a definire i valori relativi della costante di proporzionalità. Questi possono essere ottenuti dalla seconda relazione, dove il valore che divide ogni variabile indica una relazione o un rapporto riferito a K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

I valori vengono sostituiti nella prima espressione, dove il nuovo sistema verrà valutato in un'unica variabile k.

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925/35 = 55

Utilizzando questo valore della costante di proporzionalità possiamo trovare il numero che definisce ciascuna delle variabili.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

Esercizio 2

Calcola la costante di proporzionalità e l'espressione che definisce la funzione, dato il suo grafico.

Per prima cosa viene analizzato il grafico, essendo evidente il suo carattere lineare. Ciò indica che è una funzione con proporzionalità diretta e che il valore di K sarà ottenuto tramite l'espressione k = y / x

Quindi si sceglie dal grafico un punto determinabile, cioè quello in cui si possono vedere esattamente le coordinate che lo compongono.

In questo caso, viene preso il punto (2, 4). Da dove possiamo stabilire la seguente relazione.

K = 4/2 = 2

Quindi l'espressione è definita dalla funzione y = kx, che in questo caso sarà

F (x) = 2x

Riferimenti

1. Matematica per elettricità ed elettronica. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 luglio 2012
2. Vision 2020: il ruolo strategico della ricerca operativa. N. Ravichandran. Allied Publishers, 11 settembre 2005
3. Conoscenza grammaticale e aritmetica dell'assistente amministrativo dell'e-book di Stato. MAD-Eduforma
4. Rafforzamento della matematica per il supporto e la diversificazione curriculari: per il supporto e la diversificazione curriculari. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 agosto. 2003
5. Logistica e gestione commerciale. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1 sett. 2013