COSA SONO I VETTORI COMPLANARI? (CON ESERCIZI RISOLTI) - FISICO - 2024

I vettori complanari o complanari sono quelli contenuti sullo stesso piano. Quando ci sono solo due vettori, questi sono sempre complanari, poiché i piani sono infiniti, è sempre possibile sceglierne uno che li contenga.

Se si hanno tre o più vettori, è possibile che alcuni di essi non siano sullo stesso piano degli altri, quindi non possono essere considerati complanari. La figura seguente mostra un insieme di vettori complanari indicati in grassetto A , B , C e D :

Figura 1. Quattro vettori complanari. Fonte: autocostruito.

I vettori sono legati al comportamento e alle proprietà delle grandezze fisiche rilevanti per la scienza e l'ingegneria; per esempio velocità, accelerazione e forza.

Una forza produce effetti diversi su un oggetto quando si varia il modo in cui viene applicata, ad esempio cambiando intensità, direzione e direzione. Anche cambiando solo uno di questi parametri i risultati sono notevolmente diversi.

In molte applicazioni, sia statiche che dinamiche, le forze che agiscono su un corpo sono sullo stesso piano, quindi sono considerate complanari.

Condizioni affinché i vettori siano complanari

Affinché tre vettori siano complanari, devono giacere sullo stesso piano e ciò accade se soddisfano una delle seguenti condizioni:

-Vettori sono paralleli, quindi le loro componenti sono proporzionali e linearmente dipendenti.

-Il tuo prodotto misto è nullo.

-Se hai tre vettori e uno di essi può essere scritto come una combinazione lineare degli altri due, questi vettori sono complanari. Ad esempio, un vettore che risulta dalla somma di altri due, i tre sono tutti sullo stesso piano.

In alternativa, la condizione di complanarità può essere impostata come segue:

Prodotto misto tra tre vettori

Il prodotto misto tra i vettori è definito con tre vettori u , v e w, risultando in uno scalare che risulta dall'esecuzione della seguente operazione:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Innanzitutto, viene eseguito il prodotto incrociato tra parentesi: v x w , il cui risultato è un vettore normale (perpendicolare) al piano in cui giacciono sia v che w .

Se u è sullo stesso piano di v e w , naturalmente il prodotto scalare (prodotto scalare) tra ue detto vettore normale deve essere 0. In questo modo si verifica che i tre vettori siano complanari (giacciono sullo stesso piano).

Quando il prodotto miscelato è diverso da zero, il suo risultato è uguale al volume del parallelepipedo che ha i vettori u , v e w come lati adiacenti.

applicazioni

Forze complanari, concorrenti e non collineari

Le forze simultanee vengono applicate tutte allo stesso punto. Se sono anche complanari, possono essere sostituite da una sola, che è chiamata forza risultante e ha lo stesso effetto delle forze originali.

Se un corpo è in equilibrio grazie a tre forze complanari, concorrenti e non collineari (non parallele), chiamate A , B e C, il teorema di Lamy indica che la relazione tra queste forze (grandezze) è la seguente:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Con α, β e γ come angoli opposti alle forze applicate, come mostrato nella figura seguente:

Figura 2. Tre forze complanari A, B e C agiscono su un oggetto. Fonte: Kiwakwok su Wikipedia in inglese

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Trova il valore di k in modo che i seguenti vettori siano complanari:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Soluzione

Poiché abbiamo le componenti dei vettori, viene utilizzato il criterio del prodotto misto, quindi:

u ( v x w ) = 0

Risolvi prima v x w. I vettori saranno espressi in termini di vettori unitari i , j e k che distinguono le tre direzioni perpendicolari nello spazio (larghezza, altezza e profondità):

v = 4 io + j + 0 k

w = -1 io + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Consideriamo ora il prodotto scalare tra ue il vettore risultante dall'operazione precedente, ponendo l'operazione uguale a 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Il valore cercato è: k = - 6

Quindi il vettore u è:

u = <-3, -6, 2>

-Esercizio 2

La figura mostra un oggetto il cui peso è W = 600 N, sospeso in equilibrio grazie a cavi posti agli angoli mostrati in figura 3. È possibile applicare il teorema di Lamy in questa situazione? In ogni caso, trova le grandezze di T ₁ , T ₂ e T ₃ che rendono possibile l'equilibrio.

Figura 3. Un peso è sospeso in equilibrio sotto l'azione delle tre tensioni mostrate. Fonte: autocostruito.

Soluzione

Il teorema di Lamy è applicabile in questa situazione se si considera il nodo su cui vengono applicate le tre tensioni, poiché costituiscono un sistema di forze complanari. Innanzitutto, viene creato il diagramma a corpo libero per il peso sospeso, al fine di determinare l'entità di T _3:

Figura 4. Diagramma del corpo libero per il peso sospeso. Fonte: autocostruito.

Dalla condizione di equilibrio segue che:

Gli angoli tra le forze sono segnati in rosso nella figura seguente, si può facilmente verificare che la loro somma sia di 360º. Ora è possibile applicare il teorema di Lamy, poiché una delle forze e i tre angoli tra di loro sono noti:

Figura 5.- In rosso gli angoli per applicare il teorema di Lamy. Fonte: autocostruito.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Pertanto: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Anche in questo caso il teorema di Lamy viene applicato per risolvere per T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Riferimenti

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
2. Fisico. Modulo 8: vettori. Estratto da: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Meccanica per ingegneri. Statico 6a edizione. Continental Publishing Company. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Meccanica per ingegneri: statica e dinamica. 3a edizione. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vettore. Estratto da: es.wikipedia.org.