PUNTI COMPLANARI: EQUAZIONE, ESEMPIO ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2025

I punti complanari appartengono tutti allo stesso piano. Due punti sono sempre complanari, poiché questi punti definiscono una linea attraverso la quale passano piani infiniti. Quindi, entrambi i punti appartengono a ciascuno dei piani che passano attraverso la linea e quindi saranno sempre complanari.

D'altra parte, tre punti definiscono un unico piano, dal quale ne consegue che tre punti saranno sempre complanari al piano che determinano.

Figura 1. A, B, C e D sono complanari al piano (Ω). E, F e G non sono complanari a (Ω) ma sono complanari al piano che definiscono. Fonte: F. Zapata.

Più di tre punti possono essere complanari o meno. Ad esempio nella figura 1, i punti A, B, C e D sono complanari al piano (Ω). Ma E, F e G non sono complanari a (Ω), sebbene siano complanari al piano che definiscono.

Equazione di un piano dato tre punti

L'equazione di un piano determinata da tre punti noti A, B, C è una relazione matematica che garantisce che qualsiasi punto P con coordinate generiche (x, y, z) che soddisfa l'equazione appartenga a detto piano.

L'affermazione precedente equivale a dire che se P di coordinate (x, y, z) soddisfa l'equazione del piano, allora detto punto sarà complanare con i tre punti A, B, C che hanno determinato il piano.

Per trovare l'equazione di questo piano, iniziamo trovando i vettori AB e AC :

AB =

AC =

Il prodotto vettoriale AB X AC risulta in un vettore perpendicolare o normale al piano determinato dai punti A, B, C.

Qualsiasi punto P con coordinate (x, y, z) appartiene al piano se il vettore AP è perpendicolare al vettore AB X AC , il che è garantito se:

AP • (AB X AC) = 0

Ciò equivale a dire che il triplo prodotto di AP , AB e AC è zero. L'equazione sopra può essere scritta in forma di matrice:

Esempio

Siano i punti A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) e D (a, 0, 1). Che valore deve avere affinché i quattro punti siano complanari?

Soluzione

Per trovare il valore di a, il punto D deve essere parte del piano determinato da A, B e C, il che è garantito se soddisfa l'equazione del piano.

Sviluppando il determinante abbiamo:

L'equazione precedente ci dice che a = -1 affinché l'uguaglianza sia soddisfatta. In altre parole, l'unico modo in cui il punto D (a, 0,1) è complanare con i punti A, B e C è che a sia -1. Altrimenti non sarà complanare.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Un piano interseca gli assi cartesiani X, Y, Z rispettivamente in 1, 2 e 3. L'intersezione di questo piano con gli assi determina i punti A, B e C. Trova la componente Dz di un punto D, le cui componenti cartesiane sono:

A condizione che D sia complanare con i punti A, B e C.

Soluzione

Quando si conoscono le intercette di un piano con assi cartesiani, si può utilizzare la forma segmentale dell'equazione del piano:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Poiché il punto D deve appartenere al piano precedente, deve:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Vale a dire:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Da quanto sopra segue che il punto D (3, -2, -3) è complanare ai punti A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) e C (0, 0, 3).

- Esercizio 2

Determina se i punti A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) e D (2, 3, 1) sono complanari.

Soluzione

Formiamo la matrice le cui righe sono le coordinate di DA, BA e CA. Quindi il determinante viene calcolato e viene verificato se è zero o meno.

Dopo aver eseguito tutti i calcoli, si conclude che sono complanari.

- Esercizio 3

Ci sono due linee nello spazio. Uno di questi è la retta (R) la cui equazione parametrica è:

E l'altra è la retta (S) la cui equazione è:

Mostra che (R) e (S) sono linee complanari, cioè giacciono sullo stesso piano.

Soluzione

Iniziamo prendendo arbitrariamente due punti sulla linea (R) e due sulla linea (S):

Linea (R): λ = 0; A (1, 1, 1) e λ = 1; B (3, 0, 1)

Sia x = 0 sulla retta (S) => y = ½; C (0, ½, -1). E d'altra parte, se rendiamo y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Cioè, abbiamo preso i punti A e B che appartengono alla linea (R) e i punti C e D che appartengono alla linea (S). Se quei punti sono complanari, lo saranno anche le due linee.

Ora scegliamo il punto A come perno e poi troviamo le coordinate dei vettori AB , AC e AD. In questo modo ottieni:

B - A: (3-1, 0-1, 1-1) => AB = (2, -1, 0)

DO - LA: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => CA = (-1, -1/2, -2)

RE - LA: (1-1, 0-1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Il passo successivo è costruire e calcolare il determinante la cui prima riga sono i coefficienti del vettore AB , la seconda riga sono quelli di AC e la terza riga quelli del vettore AD :

Poiché il determinante risulta essere nullo, possiamo concludere che i quattro punti sono complanari. Inoltre, si può affermare che anche le linee (R) e (S) sono complanari.

- Esercizio 4

Le rette (R) e (S) sono complanari, come dimostrato nell'esercizio 3. Trova l'equazione del piano che le contiene.

Soluzione

I punti A, B, C definiscono completamente quel piano, ma vogliamo imporre che qualsiasi punto X di coordinate (x, y, z) gli appartenga.

Affinché X appartenga al piano definito da A, B, C e in cui sono contenute le rette (R) e (S), è necessario che il determinante formato nella sua prima riga dai componenti di AX , nella seconda riga da quelli di AB e nella terza da quelli di AC :

A seguito di questo risultato, raggruppiamo in questo modo:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

E subito vedi che si può riscrivere così:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Quindi x + 2y - z = 2 è l'equazione del piano che contiene le rette (R) e (S).

Riferimenti

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Algebra lineare. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Geometria analitica piatta. Mérida - Venezuela: Editoriale Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vettori. Estratto da: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Pre-calcolo. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Concetti di base della geometria. Rowman e Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.