- Descrizione del paraboloide iperbolico
- Proprietà del paraboloide iperbolico
- Esempi lavorati
- - Esempio 1
- Soluzione
- - Esempio 2
- Soluzione
- - Esempio 3
- Soluzione
- Il paraboloide iperbolico in architettura
- Riferimenti
Un paraboloide iperbolico è una superficie la cui equazione generale in coordinate cartesiane (x, y, z) soddisfa la seguente equazione:
(x / a) 2 - (y / b) 2 - z = 0.
Il nome "paraboloid" deriva dal fatto che la variabile z dipende dai quadrati delle variabili x e y. Mentre l'aggettivo "iperbolico" è dovuto al fatto che a valori fissi di z abbiamo l'equazione di un'iperbole. La forma di questa superficie è simile a quella di una sella di cavallo.
Figura 1. Paraboloide iperbolico z = x 2 - y 2 . Fonte: F. Zapata utilizzando Wolfram Mathematica.
Descrizione del paraboloide iperbolico
Per comprendere la natura del paraboloide iperbolico, verrà effettuata la seguente analisi:
1.- Prenderemo il caso particolare a = 1, b = 1, vale a dire che l'equazione cartesiana del paraboloide rimane come z = x 2 - y 2 .
2.- I piani sono considerati paralleli al piano ZX, cioè y = ctte.
3.- Con y = ctte rimane z = x 2 - C, che rappresentano le parabole con i rami verso l'alto e vertice sotto il piano XY.
Figura 2. Famiglia di curve z = x 2 - C. Fonte: F. Zapata utilizzando Geogebra.
4.- Con x = ctte rimane z = C - y 2 , che rappresentano le parabole con i rami in basso e vertice sopra il piano XY.
Figura 3. Famiglia di curve z = C - y 2 . Fonte: F. Zapata tramite Geogebra.
5.- Con z = ctte rimane C = x 2 - y 2 , che rappresentano gli iperboli nei piani paralleli al piano XY. Quando C = 0 ci sono due linee (a + 45º e -45º rispetto all'asse X) che si intersecano all'origine sul piano XY.
Figura 4. Famiglia di curve x 2 - y 2 = C. Fonte: F. Zapata utilizzando Geogebra ..
Proprietà del paraboloide iperbolico
1.- Quattro diversi punti nello spazio tridimensionale definiscono uno e un solo paraboloide iperbolico.
2.- Il paraboloide iperbolico è una superficie doppiamente rigata. Ciò significa che nonostante sia una superficie curva, due linee differenti passano per ogni punto di un paraboloide iperbolico che appartiene totalmente al paraboloide iperbolico. L'altra superficie che non è un piano ed è doppiamente governata è l'iperboloide della rivoluzione.
È proprio la seconda proprietà del paraboloide iperbolico che ne ha permesso il largo utilizzo in architettura poiché la superficie può essere generata da travi diritte o stringhe.
La seconda proprietà del paraboloide iperbolico ne consente una definizione alternativa: è la superficie che può essere generata da una retta mobile parallela ad un piano fisso e taglia due linee fisse che fungono da guida. La figura seguente chiarisce questa definizione alternativa del paraboloide iperbolico:
Figura 5. Il paraboloide iperbolico è una superficie doppiamente rigata. Fonte: F. Zapata.
Esempi lavorati
- Esempio 1
Mostra che l'equazione: z = xy, corrisponde a un paraboloide iperbolico.
Soluzione
Verrà applicata una trasformazione alle variabili xey corrispondenti ad una rotazione degli assi cartesiani rispetto all'asse Z di + 45º. Le vecchie coordinate xey vengono trasformate nelle nuove x 'e y' in base alle seguenti relazioni:
x = x '- y'
y = x '+ y'
mentre la coordinata z rimane la stessa, cioè z = z '.
Sostituendo nell'equazione z = xy abbiamo:
z '= (x' - y ') (x' + y ')
Applicando il prodotto notevole della differenza per la somma uguale alla differenza dei quadrati, abbiamo:
z '= x' 2 - y ' 2
che corrisponde chiaramente alla definizione data inizialmente di paraboloide iperbolico.
L'intercettazione dei piani paralleli all'asse XY con il paraboloide iperbolico z = xy determina iperboli equilateri che hanno come asintoti i piani x = 0 e y = 0.
- Esempio 2
Determinare i parametri aeb del paraboloide iperbolico che passa per i punti A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) e D (2, -1, 32/9).
Soluzione
Secondo le sue proprietà, quattro punti nello spazio tridimensionale determinano un singolo paraboloide iperbolico. L'equazione generale è:
z = (x / a) 2 - (y / b) 2
Sostituiamo i valori dati:
Per il punto A abbiamo 0 = (0 / a) 2 - (0 / b) 2 , un'equazione che è soddisfatta qualunque siano i valori dei parametri aeb.
Sostituendo il punto B, si ottiene:
5/9 = 1 / a 2 - 1 / b 2
Mentre per il punto C resta:
32/9 = 4 / a 2 - 1 / b 2
Infine, per il punto D otteniamo:
32/9 = 4 / a 2 - 1 / b 2
Che è identico all'equazione precedente. In definitiva, il sistema di equazioni deve essere risolto:
5/9 = 1 / a 2 - 1 / b 2
32/9 = 4 / a 2 - 1 / b 2
Sottraendo la seconda equazione dalla prima si ottiene:
27/9 = 3 / a 2 che implica che a 2 = 1.
In modo analogo, la seconda equazione viene sottratta dalla quadrupla della prima, ottenendo:
(32-20) / 9 = 4 / a 2 - 4 / a 2 -1 / b 2 + 4 / b 2
Che è semplificato come:
12/9 = 3 / b 2 ⇒ b 2 = 9/4.
In breve, il paraboloide iperbolico che passa per i punti dati A, B, C e D ha un'equazione cartesiana data da:
z = x 2 - (4/9) y 2
- Esempio 3
Secondo le proprietà del paraboloide iperbolico, due linee passano per ogni punto che sono completamente contenute in esso. Per il caso z = x ^ 2 - y ^ 2 trovare l'equazione delle due rette passanti per il punto P (0, 1, -1) chiaramente appartenente al paraboloide iperbolico, tale che tutti i punti di queste rette appartengano anche al stesso.
Soluzione
Usando il prodotto notevole della differenza dei quadrati l'equazione per il paraboloide iperbolico può essere scritta così:
(x + y) (x - y) = cz (1 / c)
Dove c è una costante diversa da zero.
L'equazione x + y = cz e l'equazione x - y = 1 / c corrispondono a due piani con vettori normali n = <1,1, -c> e m = <1, -1,0>. Il prodotto vettoriale mxn = <- c, -c, -2> ci fornisce la direzione della linea di intersezione dei due piani. Quindi una delle rette che passa per il punto P e appartiene al paraboloide iperbolico ha un'equazione parametrica:
Per determinare c sostituiamo il punto P nell'equazione x + y = cz, ottenendo:
c = -1
In modo simile, ma considerando le equazioni (x - y = kz) e (x + y = 1 / k) abbiamo l'equazione parametrica della retta:
In sintesi, le due righe:
Sono completamente contenuti nel paraboloide iperbolico z = x 2 - y 2 passante per il punto (0, 1, -1).
Per controllare, supponiamo che t = 1 che ci dia il punto (1,2, -3) sulla prima riga. Devi controllare se è anche sul paraboloide z = x 2 - y 2 :
-3 = 1 2 - 2 2 = 1 - 4 = -3
Il che conferma che effettivamente appartiene alla superficie del paraboloide iperbolico.
Il paraboloide iperbolico in architettura
Figura 6. Oceanografico di Valencia (Spagna) Fonte: Wikimedia Commons.
Il paraboloide iperbolico è stato utilizzato in architettura dai grandi architetti d'avanguardia, tra i quali spiccano i nomi dell'architetto spagnolo Antoni Gaudí (1852-1926) e in particolar modo anche lo spagnolo Félix Candela (1910-1997).
Di seguito sono riportati alcuni lavori basati sul paraboloide iperbolico:
-Cappella della città di Cuernavaca (Messico) opera dell'architetto Félix Candela.
-L'Oceanografico di Valencia (Spagna), sempre di Félix Candela.
Riferimenti
- Enciclopedia della matematica. Superficie rigata. Estratto da: enciclopediaofmath.org
- Llera Rubén. Paraboloide iperbolico. Estratto da: rubenllera.wordpress.com
- Weisstein, Eric W. "Paraboloide iperbolico". Da MathWorld - Una risorsa Web Wolfram. Estratto da: mathworld.wolfram.com
- Wikipedia. Paraboloide. Estratto da: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Paraboloide. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Superficie rigata. Estratto da: en.wikipedia.com