- Caratteristiche di funzione costanti
- Esempi
- Un altro modo per rappresentare una funzione costante
- Esercizi risolti
- - Esercizio 1
- Rispondi a
- Risposta b
- Risposta c
- - Esercizio 2
- Soluzione
- - Esercizio 3
- Soluzione
- - Esercizio 4
- Soluzione
- Soluzione a
- Soluzione b
- Riferimenti
La funzione costante è quella in cui il valore di y viene mantenuto costante. In altre parole: una funzione costante ha sempre la forma f (x) = k, dove k è un numero reale.
Quando si rappresenta graficamente la funzione costante nel sistema di coordinate xy, risulta sempre una linea retta parallela all'asse orizzontale o x.
Figura 1. Grafico di diverse funzioni costanti sul piano cartesiano. Fonte: Wikimedia Commons. Utente: HiTe
Questa funzione è un caso particolare della funzione affine, il cui grafico è anche una linea retta, ma con una pendenza. La funzione costante ha pendenza zero, cioè è una linea orizzontale, come si può vedere in figura 1.
Qui viene mostrato il grafico di tre funzioni costanti:
Sono tutte linee parallele all'asse orizzontale, la prima è sotto detto asse, mentre le altre sono sopra.
Caratteristiche di funzione costanti
Possiamo riassumere le principali caratteristiche della funzione costante come segue:
-Il suo grafico è una linea retta orizzontale.
-Ha un'intersezione unica con l'asse y, che vale k.
-È continuo.
-La dominio della funzione costante (l'insieme di valori che possono avere x) è l'insieme di numeri reali R .
-Il percorso, l'intervallo o il controdominio (l'insieme di valori che assume la variabile y) è semplicemente la costante k.
Esempi
Le funzioni sono necessarie per stabilire collegamenti tra quantità che dipendono l'una dall'altra in qualche modo. La relazione tra loro può essere modellata matematicamente, per scoprire come si comporta l'una quando l'altra varia.
Questo aiuta a costruire modelli per molte situazioni e fare previsioni sul loro comportamento ed evoluzione.
Nonostante la sua apparente semplicità, la funzione costante ha molte applicazioni. Ad esempio quando si tratta di studiare grandezze che restano costanti nel tempo, o almeno per un tempo apprezzabile.
In questo modo, le grandezze si comportano in situazioni come le seguenti:
-La velocità di crociera di un'auto che percorre una lunga autostrada rettilinea. Finché non si frena o si accelera, l'auto ha un moto rettilineo uniforme.
Figura 2. Se l'auto non frena o accelera, ha un movimento rettilineo uniforme. Fonte: Pixabay.
-Un condensatore completamente carico scollegato da un circuito ha una carica costante nel tempo.
-Infine, un parcheggio a tariffa forfettaria mantiene un prezzo costante indipendentemente dalla durata dell'auto parcheggiata lì.
Un altro modo per rappresentare una funzione costante
La funzione costante può essere alternativamente rappresentata come segue:
Poiché qualsiasi valore di x elevato a 0 dà come risultato 1, l'espressione precedente si riduce a quella già familiare:
Ovviamente ciò accade finché il valore di k è diverso da 0.
Questo è il motivo per cui la funzione costante è classificata anche come funzione polinomiale di grado 0, poiché l'esponente della variabile x è 0.
Esercizi risolti
- Esercizio 1
Rispondi alle seguenti domande:
a) Si può affermare che la retta data da x = 4 è una funzione costante? Fornisci motivi per la tua risposta.
b) Una funzione costante può avere un'intercetta x?
c) La funzione f (x) = w 2 è costante ?
Rispondi a
Ecco il grafico della linea x = 4:
Figura 3. Grafico della retta x = 4. Fonte: F. Zapata.
La linea x = 4 non è una funzione; per definizione una funzione è una relazione tale che ogni valore della variabile x corrisponde ad un singolo valore di y. E in questo caso questo non è vero, poiché il valore x = 4 è associato a valori infiniti di y. Quindi la risposta è no.
Risposta b
In generale, una funzione costante non ha intercetta x, a meno che non sia y = 0, nel qual caso è l'asse x stesso.
Risposta c
Sì, poiché w è costante, anche il suo quadrato è costante. Ciò che conta è che w non dipende dalla variabile di input x.
- Esercizio 2
Trova l'intersezione tra le funzioni f (x) = 5 e g (x) = 5x - 2
Soluzione
Per trovare l'intersezione tra queste due funzioni, possono essere rispettivamente riscritte come:
Si equalizzano, ottenendo:
Cos'è un'equazione lineare di primo grado, la cui soluzione è:
Il punto di intersezione è (7 / 5,5).
- Esercizio 3
Mostra che la derivata di una funzione costante è 0.
Soluzione
Dalla definizione di derivata abbiamo:
Sostituendo nella definizione:
Inoltre, se pensiamo alla derivata come al tasso di variazione dy / dx, la funzione costante non subisce alcuna variazione, quindi la sua derivata è zero.
- Esercizio 4
Trova l'integrale indefinito di f (x) = k.
Soluzione
Figura 4. Grafico della funzione v (t) per il mobile dell'esercizio 6. Fonte: F. Zapata.
Chiede:
a) Scrivi un'espressione per la funzione velocità in funzione del tempo v (t).
b) Trova la distanza percorsa dal cellulare nell'intervallo di tempo compreso tra 0 e 9 secondi.
Soluzione a
Il grafico mostrato mostra che:
- v = 2 m / s nell'intervallo di tempo compreso tra 0 e 3 secondi
-Il cellulare viene fermato tra 3 e 5 secondi, poiché in questo intervallo la velocità è 0.
- v = - 3 m / s tra 5 e 9 secondi.
È un esempio di funzione a tratti, o funzione a tratti, che a sua volta è composta da funzioni costanti, valide solo per gli intervalli di tempo indicati. Si conclude che la funzione desiderata è:
Soluzione b
Dal grafico v (t) si può calcolare la distanza percorsa dal mobile, numericamente equivalente all'area sotto / sulla curva. In questo modo:
-Distanza percorsa tra 0 e 3 secondi = 2 m / s. 3 s = 6 m
- Tra i 3 ei 5 secondi è stato trattenuto, quindi non ha percorso alcuna distanza.
-Distanza percorsa tra 5 e 9 secondi = 3 m / s. 4 s = 12 m
In totale il cellulare ha percorso 18 m. Si noti che sebbene la velocità sia negativa nell'intervallo tra 5 e 9 secondi, la distanza percorsa è positiva. Quello che succede è che durante quell'intervallo di tempo, il cellulare aveva cambiato il senso della sua velocità.
Riferimenti
- Geogebra. Funzioni costanti. Estratto da: geogebra.org.
- Maplesoft. La funzione costante. Estratto da: maplesoft.com.
- Wikibooks. Calcolo in una variabile / Funzioni / Funzione costante. Recupero da: es.wikibooks.org.
- Wikipedia. Funzione costante. Estratto da: en.wikipedia.org
- Wikipedia. Funzione costante. Estratto da: es.wikipedia.org.