FUNZIONE BIIETTIVA: COS'È, COME SI FA, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Una funzione biiettiva è quella che soddisfa la doppia condizione di essere iniettiva e suriettiva . Cioè, tutti gli elementi del dominio hanno un'unica immagine nel codominio, ea sua volta il codominio è uguale al rango della funzione ( R _f ).

Si realizza considerando una relazione uno-a-uno tra gli elementi del dominio e del codominio. Un semplice esempio è la funzione F: R → R definita dalla linea F (x) = x

Fonte: autore

Si osserva che per ogni valore del dominio o insieme di partenza (entrambi i termini si applicano allo stesso modo) c'è una singola immagine nel codominio o insieme di arrivo. Inoltre, non vi è alcun elemento del codominio diverso dall'immagine.

In questo modo F: R → R definito dalla retta F (x) = x è biettivo

Come si fa una funzione biiettiva?

Per rispondere a questa, è necessario essere chiari i concetti relativi alla iniettivit'a e Overjectivity di una funzione , nonché i criteri per le funzioni di condizionamento per adattarli alle esigenze.

Iniettività di una funzione

Una funzione è iniettiva quando ciascuno degli elementi del suo dominio è correlato a un singolo elemento del codominio. Un elemento del codominio può essere solo l'immagine di un singolo elemento del dominio, in questo modo i valori della variabile dipendente non possono essere ripetuti.

Per considerare una funzione iniettiva , è necessario soddisfare quanto segue:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Surjectivity di una funzione

Una funzione è classificata come suriettiva se ogni elemento del suo codominio è un'immagine di almeno un elemento del dominio.

Per considerare una funzione suriettiva , deve essere soddisfatto quanto segue:

Sia F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Questo è il modo algebrico per stabilire che per ogni “b” che appartiene a C _f c'è una “a” che appartiene a D _f tale che la funzione valutata in “a” è uguale a “b”.

Condizionamento funzionale

A volte una funzione che non è biiettiva può essere soggetta a determinate condizioni. Queste nuove condizioni possono renderlo una funzione biiettiva. Sono validi tutti i tipi di modifiche al dominio e al codominio della funzione, dove l'obiettivo è soddisfare le proprietà di iniettività e suriettività nella relazione corrispondente.

Esempi: esercizi risolti

Esercizio 1

Sia la funzione F: R → R definita dalla retta F (x) = 5x +1

UN:

Si osserva che per ogni valore del dominio c'è un'immagine nel codominio. Questa immagine è unica, il che rende F una funzione iniettiva . Allo stesso modo, osserviamo che il codominio della funzione è uguale al suo rango. Adempiendo così la condizione della suriettività .

Essendo iniettivi e suriettivi allo stesso tempo possiamo concludere che

F: R → R definito dalla linea F (x) = 5x +1 è una funzione biiettiva.

Questo si applica a tutte le funzioni lineari (funzioni il cui grado più alto della variabile è uno).

Esercizio 2

Sia la funzione F: R → R definita da F (x) = 3x ² - 2

Quando si traccia una linea orizzontale, si osserva che il grafico si trova in più di un'occasione. Per questo motivo la funzione F non è iniettiva e quindi non sarà biiettiva fintanto che è definita in R → R

Allo stesso modo, esistono valori di codominio che non sono immagini di alcun elemento del dominio. Per questo la funzione non è suriettiva, che merita anche di condizionare il set di arrivo.

Procediamo a condizionare il dominio e il codominio della funzione

F: →

Dove si osserva che il nuovo dominio copre i valori da zero a infinito positivo. Evitare la ripetizione di valori che influiscono sull'iniettività.

Allo stesso modo è stato modificato il codominio, contando da "-2" a infinito positivo, eliminando dal codominio i valori che non corrispondevano a nessun elemento del dominio

In questo modo si può garantire che F : → definito da F (x) = 3x ² - 2

È biettivo

Esercizio 3

Sia la funzione F: R → R definita da F (x) = Sen (x)

Nell'intervallo la funzione seno varia i suoi risultati tra zero e uno.

Fonte: autore.

La funzione F non corrisponde ai criteri di iniettività e suriettività, perché i valori della variabile dipendente si ripetono ad ogni intervallo di π. Inoltre, i termini del codominio al di fuori dell'intervallo non sono un'immagine di alcun elemento del dominio.

Quando si studia il grafico della funzione F (x) = Sen (x) , si osservano intervalli in cui il comportamento della curva soddisfa i criteri di biiettività . Come ad esempio l'intervallo D _f = per il dominio. E C _f = per il codominio.

Dove la funzione varia i risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente. E allo stesso tempo il codominio è uguale ai valori adottati dall'espressione Sen (x)

Quindi la funzione F: → definita da F (x) = Sen (x). È biettivo

Esercizio 4

Indicare le condizioni necessarie per D _f e C _f . Quindi l'espressione

F (x) = -x ² sia biettivo.

Fonte: autore

La ripetizione dei risultati si osserva quando la variabile assume valori opposti:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Il dominio è condizionato, limitandolo al lato destro della linea reale.

D _f =

Allo stesso modo, si osserva che il range di questa funzione è l'intervallo, che agendo come codominio soddisfa le condizioni di suriettività.

In questo modo possiamo concludere che

L'espressione F: → definita da F (x) = -x ² È biiettiva

Esercizi proposti

Controlla se le seguenti funzioni sono biiettive:

F: → R definito da F (x) = 5ctg (x)

F: → R definito da F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R definito dalla linea F (x) = -5x + 4

Riferimenti

1. Introduzione alla logica e al pensiero critico. Merrilee H. Salmon. Università di Pittsburgh
2. Problemi nell'analisi matematica. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Polonia.
3. Elementi di analisi astratta. Mícheál O'Searcoid PhD. Dipartimento di matematica. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. La stampa dell'università di Oxford.
5. Principi di analisi matematica. Enrique Linés Escardó. Editoriale Reverté S. A 1991. Barcellona Spagna.