Una funzione suriettiva è qualsiasi relazione in cui ogni elemento appartenente al codominio è un'immagine di almeno un elemento del dominio. Conosciute anche come funzioni di inviluppo , fanno parte della classificazione delle funzioni rispetto al modo in cui i loro elementi sono correlati.

Ad esempio una funzione F: A → B definita da F (x) = 2x

Che si legge " F che va da A a B definito da F (x) = 2x"

È necessario definire i set di partenza e di arrivo A e B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Ora i valori o le immagini che ciascuno di questi elementi produrrà quando valutato in F saranno gli elementi del codominio.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formando così l'insieme B: {2, 4, 6, 8, 10}

Si può quindi concludere che:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definito da F (x) = 2x È una funzione suriettiva

Ogni elemento del codominio deve risultare da almeno un'operazione della variabile indipendente attraverso la funzione in questione. Non c'è limite alle immagini, un elemento del codominio può essere un'immagine di più di un elemento del dominio e provare comunque una funzione suriettiva .

Nell'immagine sono mostrati 2 esempi con funzioni suriettive .

Fonte: autore

Nella prima si osserva che le immagini possono essere riferite allo stesso elemento, senza compromettere la suriettività della funzione.

Nella seconda vediamo un'equa distribuzione tra dominio e immagini. Ciò dà origine alla funzione biiettiva , in cui devono essere soddisfatti i criteri della funzione iniettiva e della funzione suriettiva.

Un altro metodo per identificare le funzioni suriettive è verificare se il codominio è uguale al rango della funzione. Ciò significa che se il set di arrivo è uguale alle immagini fornite dalla funzione nella valutazione della variabile indipendente, la funzione è suriettiva.

Proprietà

Per considerare una funzione suriettiva , deve essere soddisfatto quanto segue:

Sia F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Questo è il modo algebrico per stabilire che per ogni “b” che appartiene a C _f esiste una “a” che appartiene a D _f tale che la funzione F valutata in “a” è uguale a “b”.

La suriettività è una peculiarità delle funzioni, dove il codominio e la portata sono simili. Pertanto, gli elementi valutati nella funzione costituiscono l'insieme di arrivo.

Condizionamento funzionale

A volte una funzione che non è suriettiva può essere soggetta a determinate condizioni. Queste nuove condizioni possono renderlo una funzione suriettiva.

Sono validi tutti i tipi di modifiche al dominio e al codominio della funzione, laddove l'obiettivo è soddisfare le proprietà di suriettività nella relazione corrispondente.

Esempi: esercizi risolti

Per soddisfare le condizioni di suriettività , devono essere applicate diverse tecniche di condizionamento, questo al fine di garantire che ogni elemento del codominio rientri nell'insieme delle immagini della funzione.

Esercizio 1

• Sia la funzione F: R → R definita dalla retta F (x) = 8 - x

UN:

Fonte: autore

In questo caso, la funzione descrive una linea continua, che include tutti i numeri reali sia nel suo dominio che nel suo intervallo. Poiché l'intervallo della funzione R _f è uguale al codominio R si può concludere che:

F: R → R definita dalla retta F (x) = 8 - x è una funzione suriettiva.

Questo si applica a tutte le funzioni lineari (funzioni il cui grado più alto della variabile è uno).

Esercizio 2

• Studia la funzione F: R → R definita da F (x) = x ² : Definisci se è una funzione suriettiva . In caso contrario, mostra le condizioni necessarie per renderlo surrogativo.

Fonte: autore

La prima cosa da tenere in considerazione è il codominio di F , che è composto dai numeri reali R. Non c'è modo per la funzione di produrre valori negativi, il che esclude i reali negativi tra le possibili immagini.

Condizionamento del codominio all'intervallo. Si evita di lasciare elementi del codominio estranei a F.

Le immagini vengono ripetute per coppie di elementi della variabile indipendente, come x = 1 ed x = - 1. Ma questo riguarda solo l' iniettività della funzione, non essendo un problema per questo studio.

In questo modo si può concludere che:

F: R → . Questo intervallo deve condizionare il codominio al raggiungimento della suriettività della funzione.

F: R → definito da F (x) = Sen (x) È una funzione suriettiva

F: R → definito da F (x) = Cos (x) È una funzione suriettiva

Esercizio 4

• Studia la funzione

F :) .push ({});

Fonte: autore

La funzione F (x) = ± √x ha la particolarità di definire 2 variabili dipendenti ad ogni valore di "x". Ovvero, l'intervallo riceve 2 elementi per ciascuno creato nel dominio. È necessario verificare un valore positivo e uno negativo per ogni valore di "x".

Osservando l'insieme di partenza, si nota che il dominio è già stato ristretto, questo per evitare le indeterminatezze prodotte quando si valuta un numero negativo all'interno di una radice pari.

Quando si controlla l'intervallo della funzione, si nota che ogni valore del codominio appartiene all'intervallo.

In questo modo si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = ± √x È una funzione suriettiva

Esercizio 4

• Studia la funzione F (x) = Ln x denota se è una funzione suriettiva . Condizionare i set di arrivo e partenza per adattare la funzione ai criteri di suriettività.

Fonte: autore

Come mostrato nel grafico, la funzione F (x) = Ln x è definita per valori di "x" maggiori di zero. Mentre i valori di "e" o le immagini possono assumere qualsiasi valore reale.

In questo modo possiamo restringere il dominio di F (x) = all'intervallo (0, ∞ )

Fintanto che l'intervallo della funzione può essere mantenuto come l'insieme dei numeri reali R.

Considerando ciò, si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = Ln x È una funzione suriettiva

Esercizio 5

• Studiare la funzione del valore assoluto F (x) = - x - e designare gli insiemi di arrivo e partenza che soddisfano i criteri di suriettività.

Fonte: autore

Il dominio della funzione è soddisfatto per tutti i numeri reali R. In questo modo, l'unico condizionamento deve essere eseguito nel codominio, tenendo conto che la funzione valore assoluto assume solo valori positivi.

Si procede a stabilire il codominio della funzione uguale al rango della stessa

[0, ∞ )

Ora si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = - x - È una funzione suriettiva

Esercizi proposti

1. Controlla se le seguenti funzioni sono suriettive:

• F: (0, ∞ ) → R definito da F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R definito da F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) definito da F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R definito da F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R definito da F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definito da F (x) = 1 / x

Riferimenti

1. Introduzione alla logica e al pensiero critico. Merrilee H. Salmon. Università di Pittsburgh
2. Problemi nell'analisi matematica. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Polonia.
3. Elementi di analisi astratta. Mícheál O'Searcoid PhD. Dipartimento di matematica. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. La stampa dell'università di Oxford.
5. Principi di analisi matematica. Enrique Linés Escardó. Editoriale Reverté S. A 1991. Barcellona Spagna.