- A cosa servono le funzioni di iniezione?
- Condizionamento funzionale
- Esempi di funzioni di iniezione con esercizi risolti
- Esempio 1
- Esempio 2
- Esempio 3
- Esempio 4
- Esempio 5
- Esempio 6
- Riferimenti
Una funzione iniettiva è qualsiasi relazione di elementi del dominio con un singolo elemento del codominio. Conosciute anche come funzioni uno-a-uno ( 1 - 1 ), fanno parte della classificazione delle funzioni rispetto al modo in cui i loro elementi sono correlati.
Un elemento del codominio può essere solo l'immagine di un singolo elemento del dominio, in questo modo i valori della variabile dipendente non possono essere ripetuti.
Fonte: autore.
Un chiaro esempio potrebbe essere il raggruppamento di uomini con lavori nel gruppo A e nel gruppo B tutti i capi. La funzione F sarà quella che associa ogni lavoratore al proprio capo. Se ogni lavoratore è associato a un capo diverso tramite F , allora F sarà una funzione iniettiva .
Per considerare una funzione iniettiva , è necessario soddisfare quanto segue:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Questo è il modo algebrico di dire Per ogni x 1 diverso da x 2 abbiamo un F (x 1 ) diverso da F (x 2 ).
A cosa servono le funzioni di iniezione?
L'iniettività è una proprietà delle funzioni continue, poiché garantiscono l'assegnazione di immagini per ogni elemento del dominio, aspetto essenziale nella continuità di una funzione.
Quando si traccia una linea parallela all'asse X sul grafico di una funzione iniettiva, il grafico deve essere toccato solo in un singolo punto, indipendentemente dall'altezza o dall'ampiezza di Y della linea disegnata. Questo è il modo grafico per testare l'iniettività di una funzione.
Un altro modo per verificare se una funzione è iniettiva è risolvendo la variabile indipendente X in termini di variabile dipendente Y. Quindi deve essere verificato se il dominio di questa nuova espressione contiene i numeri reali, contemporaneamente a ciascun valore di Y c'è un unico valore di X.
Le funzioni o relazioni d'ordine obbediscono, tra l'altro, alla notazione F: D f → C f
Ciò che viene letto F che va da D f a C f
Dove la funzione F mette in relazione gli insiemi Dominio e Codominio. Conosciuto anche come set di partenza e set di finitura.
Il dominio D f contiene i valori consentiti per la variabile indipendente. Il codominio C f è costituito da tutti i valori disponibili per la variabile dipendente. Gli elementi di C f relativi a D f sono noti come Range della funzione (R f ).
Condizionamento funzionale
A volte una funzione che non è iniettiva può essere soggetta a determinate condizioni. Queste nuove condizioni possono renderlo una funzione iniettiva. Sono validi tutti i tipi di modifiche al dominio e al codominio della funzione, laddove l'obiettivo è soddisfare le proprietà di iniettività nella relazione corrispondente.
Esempi di funzioni di iniezione con esercizi risolti
Esempio 1
Sia la funzione F: R → R definita dalla retta F (x) = 2x - 3
UN:
Fonte: autore.
Si osserva che per ogni valore del dominio c'è un'immagine nel codominio. Questa immagine è unica, il che rende F una funzione iniettiva. Questo si applica a tutte le funzioni lineari (funzioni il cui grado più alto della variabile è uno).
Fonte: autore.
Esempio 2
Sia la funzione F: R → R definita da F (x) = x 2 +1
Fonte: autore
Quando si traccia una linea orizzontale, si osserva che il grafico si trova in più di un'occasione. Per questo motivo la funzione F non è iniettiva fintanto che R → R è definito
Procediamo a condizionare il dominio della funzione:
F: R + U {0} → R
Fonte: autore
Ora la variabile indipendente non assume valori negativi, in questo modo si evita la ripetizione di risultati e la funzione F: R + U {0} → R definita da F (x) = x 2 + 1 è iniettiva .
Un'altra soluzione omologa sarebbe quella di limitare il dominio a sinistra, cioè restringere la funzione a prendere solo valori negativi e zero.
Procediamo a condizionare il dominio della funzione
F: R - U {0} → R
Fonte: autore
Ora la variabile indipendente non assume valori negativi, in questo modo si evita la ripetizione di risultati e la funzione F: R - U {0} → R definita da F (x) = x 2 + 1 è iniettiva .
Le funzioni trigonometriche hanno comportamenti ondulatori, in cui è molto comune trovare ripetizioni di valori nella variabile dipendente. Attraverso un condizionamento specifico, basato sulla conoscenza preliminare di queste funzioni, possiamo restringere il dominio per soddisfare le condizioni di iniettività.
Esempio 3
Sia la funzione F: → R definita da F (x) = Cos (x)
Nell'intervallo la funzione coseno varia i suoi risultati tra zero e uno.
Fonte: autore.
Come si può vedere dal grafico. Inizia da zero in x = - π / 2, quindi raggiunge un massimo a zero. È dopo x = 0 che i valori iniziano a ripetersi, finché non tornano a zero in x = π / 2. In questo modo si sa che F (x) = Cos (x) non è iniettiva per l'intervallo.
Studiando il grafico della funzione F (x) = Cos (x) , si osservano intervalli in cui il comportamento della curva si adatta ai criteri di iniettività. Come l'intervallo
Dove la funzione varia i risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente.
In questo modo la funzione funzione F: → R definita da F (x) = Cos (x). È iniettiva
Esistono funzioni non lineari in cui si verificano casi simili. Per le espressioni di tipo razionale, dove il denominatore contiene almeno una variabile, esistono delle restrizioni che impediscono l'iniettività della relazione.
Esempio 4
Sia la funzione F: R → R definita da F (x) = 10 / x
La funzione è definita per tutti i numeri reali tranne {0} che ha un'indeterminatezza (non può essere divisa per zero) .
Quando la variabile dipendente si avvicina allo zero da sinistra, assume valori negativi molto grandi e, immediatamente dopo lo zero, i valori della variabile dipendente assumono cifre positive grandi.
Questa interruzione rende l'espressione F: R → R definita da F (x) = 10 / x
Non essere iniettivo.
Come visto negli esempi precedenti, l'esclusione di valori nel dominio serve a "riparare" queste indeterminatezze. Si procede ad escludere zero dal dominio, lasciando i set di partenza e arrivo definiti come segue:
R - {0} → R
Dove R - {0} simboleggia i reali ad eccezione di un insieme il cui unico elemento è zero.
In questo modo l'espressione F: R - {0} → R definita da F (x) = 10 / x è iniettiva.
Esempio 5
Sia la funzione F: → R definita da F (x) = Sen (x)
Nell'intervallo la funzione seno varia i suoi risultati tra zero e uno.
Fonte: autore.
Come si può vedere dal grafico. Inizia da zero in x = 0 e poi raggiunge un massimo in x = π / 2. È dopo x = π / 2 che i valori iniziano a ripetersi, finché non tornano a zero in x = π. In questo modo si sa che F (x) = Sen (x) non è iniettiva per l'intervallo.
Studiando il grafico della funzione F (x) = Sen (x) , si osservano intervalli in cui il comportamento della curva si adatta ai criteri di iniettività. Come l'intervallo
Dove la funzione varia i risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente.
In questo modo la funzione F: → R definita da F (x) = Sen (x). È iniettiva
Esempio 6
Controlla se la funzione F: → R definita da F (x) = Tan (x)
F: → R definito da F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definito dalla linea F (x) = 7x + 2
Riferimenti
- Introduzione alla logica e al pensiero critico. Merrilee H. Salmon. Università di Pittsburgh
- Problemi nell'analisi matematica. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Polonia.
- Elementi di analisi astratta. Mícheál O'Searcoid PhD. Dipartimento di matematica. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
- Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. La stampa dell'università di Oxford.
- Principi di analisi matematica. Enrique Linés Escardó. Editoriale Reverté S. A 1991. Barcellona Spagna.