- Definizione e proprietà
- Funzione esponenziale
- Proprietà della funzione esponenziale
- Funzione logaritmica
- Proprietà della funzione logaritmo
- Funzioni seno, coseno e tangente
- Derivate e integrali
- Derivata della funzione esponenziale
- Integrale della funzione esponenziale
- Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni trascendenti
- Esempi
- Esempio 1
- Esempio 2
- Riferimenti
Le funzioni trascendentali elementari sono le funzioni esponenziale, logaritmica, trigonometrica, trigonometrica inversa, iperbolica e iperbolica inversa. Cioè, sono quelli che non possono essere espressi per mezzo di un polinomio, un quoziente di polinomi o radici di polinomi.
Le funzioni trascendenti non elementari sono anche conosciute come funzioni speciali e tra queste si può nominare la funzione di errore. Le funzioni algebriche (polinomi, quozienti di polinomi e radici di polinomi) insieme alle funzioni trascendentali elementari costituiscono quelle che in matematica sono note come funzioni elementari.
Le funzioni trascendenti sono anche considerate quelle che risultano da operazioni tra funzioni trascendenti o tra funzioni trascendenti e algebriche. Queste operazioni sono: la somma e la differenza di funzioni, il prodotto e il quoziente di funzioni, nonché la composizione di due o più funzioni.
Definizione e proprietà
Funzione esponenziale
È una funzione reale di variabile reale indipendente della forma:
f (x) = a ^ x = a x
dove a è un numero reale positivo fisso (a> 0) chiamato base. Il circonflesso o l'apice sono usati per denotare l'operazione di potenziamento.
Diciamo a = 2 quindi la funzione assomiglia a questa:
f (x) = 2 ^ x = 2 x
Che verrà valutato per diversi valori della variabile indipendente x:
Di seguito è riportato un grafico in cui la funzione esponenziale è rappresentata per diversi valori della base, inclusa la base e (numero Neper e ≃ 2.72). La base e è così importante che generalmente parlando di una funzione esponenziale pensiamo a e ^ x, che è anche denotata exp (x).
Figura 1. Funzione esponenziale a ^ x, per vari valori della base a. (Elaborazione propria)
Proprietà della funzione esponenziale
Dalla figura 1 si può vedere che il dominio delle funzioni esponenziali sono i numeri reali (Dom f = R ) e l'intervallo o percorso sono i reali positivi (Ran f = R + ).
D'altra parte, indipendentemente dal valore della base a, tutte le funzioni esponenziali passano per il punto (0, 1) e per il punto (1, a).
Quando la base a> 1, la funzione è in aumento e quando 0 <a <1 la funzione è in diminuzione.
Le curve di y = a ^ x e y = (1 / a) ^ x sono simmetriche rispetto all'asse Y.
Ad eccezione del caso a = 1, la funzione esponenziale è iniettiva, cioè ad ogni valore dell'immagine corrisponde uno ed un solo valore iniziale.
Funzione logaritmica
È una funzione reale di variabile indipendente reale basata sulla definizione del logaritmo di un numero. Il logaritmo basato su un numero x è il numero y a cui la base deve essere elevata per ottenere l'argomento x:
log a (x) = y ⇔ a ^ y = x
Cioè, la funzione logaritmo basata su è la funzione inversa della funzione esponenziale basata su.
Per esempio:
log 2 1 = 0, poiché 2 ^ 0 = 1
Un altro caso, log 2 4 = 2, perché 2 ^ 2 = 4
Il logaritmo della radice di 2 è log 2 √2 = ½, perché 2 ^ ½ = √2
log 2 ¼ = -2, poiché 2 ^ (- 2) = ¼
Di seguito è riportato un grafico della funzione logaritmo in varie basi.
Figura 2. Funzione esponenziale per diversi valori della base. (Elaborazione propria)
Proprietà della funzione logaritmo
Il dominio della funzione logaritmo y (x) = log a (x) sono i numeri reali positivi R + . La gamma di viaggio o sono numeri reali R .
Indipendentemente dalla base, la funzione logaritmo passa sempre per il punto (1,0) e il punto (a, 1) appartiene al grafico di quella funzione.
Nel caso in cui la base a sia maggiore dell'unità (a> 1) la funzione logaritmo è crescente. Ma se (0 <a <1) allora è una funzione decrescente.
Funzioni seno, coseno e tangente
La funzione seno assegna un numero reale e ad ogni valore x, dove x rappresenta la misura di un angolo in radianti. Per ottenere il valore del Sen (x) di un angolo, l'angolo è rappresentato nel cerchio unitario e la proiezione di detto angolo sull'asse verticale è il seno corrispondente a quell'angolo.
Il cerchio trigonometrico e il seno per vari valori angolari X1, X2, X3 e X4 sono mostrati di seguito (nella Figura 3).
Figura 3. Cerchio trigonometrico e seno di vari angoli. (Elaborazione propria)
Definito in questo modo, il valore massimo che la funzione Sen (x) può avere è 1, che si verifica quando x = π / 2 + 2π n, dove n è un numero intero (0, ± 1, ± 2,). Il valore minimo che può assumere la funzione Sen (x) si verifica quando x = 3π / 2 + 2π n.
La funzione coseno y = Cos (x) è definita in modo simile, ma la proiezione delle posizioni angolari P1, P2, ecc. Viene eseguita sull'asse orizzontale del cerchio trigonometrico.
D'altra parte, la funzione y = Tan (x) è il quoziente tra la funzione seno e la funzione coseno.
Di seguito è riportato un grafico delle funzioni trascendenti Sen (x), Cos (x) e Tan (x)
Figura 4. Grafico delle funzioni trascendenti, seno, coseno e tangente. (Elaborazione propria)
Derivate e integrali
Derivata della funzione esponenziale
La derivata y 'della funzione esponenziale y = a ^ x è la funzione a ^ x moltiplicata per il logaritmo naturale della base a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
Nel caso particolare della base e, la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.
Integrale della funzione esponenziale
L'integrale indefinito di a ^ x è la funzione stessa divisa per il logaritmo naturale della base.
Nel caso particolare della base e, l'integrale della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.
Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni trascendenti
Di seguito una tabella riassuntiva delle principali funzioni trascendenti, delle loro derivate e degli integrali indefiniti (antiderivativi):
Tabella delle derivate e degli integrali indefiniti per alcune funzioni trascendenti. (Elaborazione propria)
Esempi
Esempio 1
Trova la funzione risultante dalla composizione della funzione f (x) = x ^ 3 con la funzione g (x) = cos (x):
(nebbia) (x) = f (g (x)) = cos 3 (x)
La sua derivata e il suo integrale indefinito è:
Esempio 2
Trova la composizione della funzione g con la funzione f, dove g e f sono le funzioni definite nell'esempio precedente:
(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x 3 )
Va notato che la composizione delle funzioni non è un'operazione commutativa.
La derivata e l'integrale indefinito per questa funzione sono rispettivamente:
L'integrale è stato lasciato indicato perché non è possibile scrivere il risultato esattamente come una combinazione di funzioni elementari.
Riferimenti
- Calcolo di una singola variabile. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre 2008
- Teorema della funzione implicita: storia, teoria e applicazioni. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 novembre. 2012
- Analisi multivariabile. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dicembre. 2010
- Dinamica dei sistemi: modellazione, simulazione e controllo di sistemi meccatronici. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 marzo 2012
- Calcolo: matematica e modellazione. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 gennaio 1999
- wikipedia. Funzione trascendente. Estratto da: es.wikipedia.com