NUMERO DI EULERO O NUMERO E: QUANTO VALE, PROPRIETÀ, APPLICAZIONI - MATEMATICA - 2025

Il numero di Eulero o numero e è una ben nota costante matematica che appare frequentemente in numerose applicazioni scientifiche ed economiche, insieme al numero π e ad altri numeri importanti in matematica.

Una calcolatrice scientifica restituisce il seguente valore per il numero e:

Figura 1. Il numero di Eulero appare frequentemente su Science. Fonte: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Ma sono noti molti altri decimali, ad esempio:

e = 2,71828182845904523536…

E i computer moderni hanno trovato trilioni di cifre decimali per il numero e.

È un numero irrazionale, il che significa che ha un numero infinito di cifre decimali senza alcun motivo ripetitivo (la sequenza 1828 appare due volte all'inizio e non viene più ripetuta).

E significa anche che il numero e non può essere ottenuto come quoziente di due numeri interi.

Storia

Il numero e fu identificato dallo scienziato Jacques Bernoulli nel 1683 quando stava studiando il problema dell'interesse composto, ma in precedenza era apparso indirettamente nelle opere del matematico scozzese John Napier, che inventò i logaritmi intorno al 1618.

Tuttavia, fu Leonhard Euler nel 1727 a dargli il nome numero e ea studiarne intensamente le proprietà. Questo è il motivo per cui è noto anche come numero di Eulero e anche come base naturale per i logaritmi naturali (un esponente) attualmente utilizzati.

Quanto vale il numero e?

Il numero e vale:

e = 2,71828182845904523536…

I puntini di sospensione indicano che esiste un numero infinito di cifre decimali e infatti, con i computer odierni, se ne conoscono milioni.

Rappresentazioni del numero e

Esistono diversi modi per definire e che descriviamo di seguito:

Il numero e come limite

Uno dei vari modi in cui viene espresso il numero e è quello che lo scienziato Bernoulli ha trovato nei suoi lavori sull'interesse composto:

In cui devi rendere il valore n un numero molto grande.

È facile verificare, con l'aiuto di una calcolatrice, che quando n è molto grande, l'espressione precedente tende al valore di e dato sopra.

Ovviamente possiamo chiederci quanto può essere grande n, quindi proviamo con numeri tondi, come questi ad esempio:

n = 1000; 10.000 o 100.000

Nel primo caso otteniamo e = 2.7169239…. Nel secondo e = 2.7181459… e nel terzo è molto più vicino al valore di e: 2.7182682. Possiamo già immaginare che con n = 1.000.000 o più, l'approssimazione sarà ancora migliore.

In linguaggio matematico, la procedura per far avvicinare n a un valore molto grande è chiamata limite all'infinito ed è indicata in questo modo:

Per denotare l'infinito si usa il simbolo "∞".

Il numero e come somma

È anche possibile definire il numero e tramite questa operazione:

Le cifre che compaiono al denominatore: 1, 2, 6, 24, 120… corrispondono all'operazione n!, Dove:

E per definizione 0! = 1.

È facile verificare che più addendi sono aggiunti, più precisamente si raggiunge il numero e.

Facciamo alcuni test con la calcolatrice, aggiungendo sempre più addendi:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Più termini aggiunti alla somma, più il risultato somiglia a e.

I matematici hanno ideato una notazione compatta per queste somme che coinvolgono molti termini, usando il simbolo di sommatoria Σ:

Questa espressione è letta in questo modo "somma da n = 0 a infinito di 1 tra n fattoriale".

Il numero e dal punto di vista geometrico

Il numero e ha una rappresentazione grafica relativa all'area sotto il grafico della curva:

y = 1 / x

Quando i valori di x sono compresi tra 1 ed e, quest'area è uguale a 1, come illustrato nella figura seguente:

Figura 2. Rappresentazione grafica del numero e: l'area sotto la curva 1 / x, compresa tra x = 1 e x = e vale 1. Fonte: F. Zapata.

Proprietà del numero e

Alcune delle proprietà del numero e sono:

-È irrazionale, in altre parole, non può essere ottenuto semplicemente dividendo due numeri interi.

-Il numero e è anche un numero trascendente, il che significa che e non è una soluzione per nessuna equazione polinomiale.

-È correlato ad altri quattro numeri famosi nel campo della matematica, vale a dire: π, i, 1 e 0, attraverso l'identità di Eulero:

-I cosiddetti numeri complessi possono essere espressi tramite e.

-Costituisce la base dei logaritmi naturali o naturali del tempo presente (la definizione originale di John Napier differisce leggermente).

-È l'unico numero tale che il suo logaritmo naturale sia uguale a 1, ovvero:

applicazioni

statistica

Il numero e appare molto frequentemente nel campo della probabilità e della statistica, in varie distribuzioni, come normale o gaussiana, di Poisson e altre.

Ingegneria

In ingegneria è frequente, poiché la funzione esponenziale y = e ^x è presente, ad esempio, nella meccanica e nell'elettromagnetismo. Tra le tante applicazioni possiamo citare:

-Un cavo o una catena che pende tenuto dalle estremità, adotta la forma della curva data da:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Un condensatore C inizialmente scarico, che è collegato in serie ad un resistore R e ad una sorgente di tensione V per caricarsi, acquisisce una certa carica Q in funzione del tempo t dato da:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

biologia

La funzione esponenziale y = Ae ^Bx , con costanti A e B, viene utilizzata per modellare la crescita cellulare e la crescita batterica.

Fisico

Nella fisica nucleare, il decadimento radioattivo e la determinazione dell'età sono modellati dalla datazione al radiocarbonio.

Economia

Nel calcolo dell'interesse composto il numero e sorge naturalmente.

Si supponga di avere una certa quantità di denaro P _o per investire ad un tasso di interesse di% i all'anno.

Se lasci i soldi per 1 anno, dopo quel tempo avrai:

Dopo un altro anno senza toccarlo, avrai:

E continuando in questo modo per n anni:

Ora ricordiamo una delle definizioni di e:

Assomiglia un po 'all'espressione P, quindi deve esserci una relazione.

Distribuiremo il tasso di interesse nominale i in n periodi di tempo, in questo modo il tasso di interesse composto sarà i / n:

Questa espressione assomiglia un po 'di più al nostro limite, ma non è ancora esattamente la stessa.

Tuttavia, dopo alcune manipolazioni algebriche si può dimostrare che apportando questo cambio di variabile:

Il nostro denaro P diventa:

E quello che c'è tra le parentesi graffe, anche se è scritto con la lettera h, è uguale all'argomento del limite che definisce il numero e, manca solo il limite.

Facciamo h → ∞ e ciò che sta tra le parentesi graffe diventa il numero e. Ciò non significa che dobbiamo aspettare un tempo infinitamente lungo per ritirare i nostri soldi.

Se guardiamo da vicino, rendendo h = n / i tendendo a ∞, ciò che abbiamo effettivamente fatto è distribuire il tasso di interesse su periodi di tempo molto, molto piccoli:

i = n / h

Questo si chiama composizione continua. In tal caso la quantità di denaro è facilmente calcolabile in questo modo:

Dove i è il tasso di interesse annuale. Ad esempio, depositando 12 € al 9% annuo, tramite capitalizzazione continua, dopo un anno hai:

Con un profitto di 1,13 €.

Riferimenti

1. Goditi la matematica. Interesse composto: composizione periodica. Recupero da: goditi il ​​sito web.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni CO-BO.
3. García, M. Il numero e nel calcolo elementare. Estratto da: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Calcolo di una variabile. 9 °. Edizione. McGraw Hill.