C'è una matrice ortogonale quando detta matrice moltiplicata per la sua trasposizione risulta nella matrice identità. Se l'inverso di una matrice è uguale alla trasposizione, la matrice originale è ortogonale.
Le matrici ortogonali hanno la caratteristica che il numero di righe è uguale al numero di colonne. Inoltre, i vettori di riga sono vettori ortogonali unitari e anche i vettori di riga di trasposizione lo sono.
Figura 1. Esempio di matrice ortogonale e come trasforma oggetti geometrici. (Preparato da Ricardo Pérez)
Quando una matrice ortogonale viene moltiplicata per i vettori di uno spazio vettoriale, produce una trasformazione isometrica, cioè una trasformazione che non modifica le distanze e preserva gli angoli.
Un tipico rappresentante delle matrici ortogonali sono le matrici di rotazione. Le trasformazioni di matrici ortogonali su uno spazio vettoriale sono chiamate trasformazioni ortogonali.
Le trasformazioni geometriche di rotazione e riflessione dei punti rappresentati dai loro vettori cartesiani vengono effettuate applicando matrici ortogonali sui vettori originali per ottenere le coordinate dei vettori trasformati. È per questo motivo che le matrici ortogonali sono ampiamente utilizzate nell'elaborazione della computer grafica.
Proprietà
Una matrice M è ortogonale se moltiplicato per sua trasposta M T dà come risultato la matrice identità I . Allo stesso modo, il prodotto della trasposizione di una matrice ortogonale per la matrice originale risulta nella matrice identità:
MM T = M T M = I
Come conseguenza dell'affermazione precedente, abbiamo che la trasposizione di una matrice ortogonale è uguale alla sua matrice inversa:
M T = M -1 .
L'insieme delle matrici ortogonali di dimensione nxn forma il gruppo ortogonale O (n). E il sottoinsieme di O (n) di matrici ortogonali con determinante +1 forma il Gruppo di matrici speciali unitarie SU (n). Le matrici del gruppo SU (n) sono matrici che producono trasformazioni lineari di rotazione, note anche come gruppo di rotazioni.
Dimostrazione
Vogliamo mostrare che una matrice è ortogonale se, e solo se, i vettori riga (o vettori colonna) sono ortogonali tra loro e di norma 1.
Supponiamo che le righe di una matrice ortogonale nxn siano n vettori ortonormali di dimensione n. Se è indicato con v 1 , v 2 , …, V n agli n vettori vale:
Dove è evidente che effettivamente l'insieme dei vettori riga è un insieme di vettori ortogonali di norma uno.
Esempi
Esempio 1
Mostra che la matrice 2 x 2 che nella prima riga ha il vettore v1 = (-1 0) e nella seconda riga il vettore v2 = (0 1) è una matrice ortogonale.
Soluzione: si costruisce la matrice M e si calcola la sua trasposizione M T :
In questo esempio, la matrice M è auto-trasposta, ovvero la matrice e la sua trasposizione sono identiche. Moltiplica M per la sua trasposizione M T :
Si verifica che MM T sia uguale alla matrice identità:
Quando la matrice M viene moltiplicata per le coordinate di un vettore o di un punto, si ottengono nuove coordinate che corrispondono alla trasformazione che la matrice fa sul vettore o punto.
La figura 1 mostra come M trasforma il vettore u in u ' e anche come M trasforma il poligono blu nel poligono rosso. Poiché M è ortogonale, è quindi una trasformazione ortogonale, che preserva le distanze e gli angoli.
Esempio 2
Supponiamo di avere una matrice 2 x 2 definita nei reali dati dalla seguente espressione:
Trova i valori reali di a, b, ced tali che la matrice M sia una matrice ortogonale.
Soluzione: Per definizione, una matrice è ortogonale se moltiplicata per la sua trasposizione si ottiene la matrice identità. Ricordando che la matrice trasposta si ottiene dall'originale, scambiando righe per colonne, si ottiene la seguente uguaglianza:
Eseguendo la moltiplicazione di matrici abbiamo:
Uguagliando gli elementi della matrice sinistra con gli elementi della matrice identità a destra, otteniamo un sistema di quattro equazioni con quattro incognite a, b, ce d.
Proponiamo per a, b, ced le seguenti espressioni in termini di rapporti trigonometrici seno e coseno:
Con questa proposta e per l'identità trigonometrica fondamentale, la prima e la terza equazione sono automaticamente soddisfatte nell'uguaglianza degli elementi della matrice. La terza e la quarta equazione sono le stesse e nell'uguaglianza di matrice dopo aver sostituito i valori proposti appare così:
che porta alla seguente soluzione:
Infine si ottengono le seguenti soluzioni per la matrice ortogonale M:
Si noti che la prima delle soluzioni ha determinante +1 quindi appartiene al gruppo SU (2), mentre la seconda soluzione ha determinante -1 e quindi non appartiene a questo gruppo.
Esempio 3
Data la matrice seguente, trova i valori di a e di b in modo da avere una matrice ortogonale.
Soluzione: Affinché una data matrice sia ortogonale, il prodotto con la sua trasposizione deve essere la matrice identità. Quindi, viene eseguito il prodotto di matrice della matrice data con la sua matrice trasposta, dando il seguente risultato:
Successivamente, il risultato è equiparato alla matrice identità 3 x 3:
Nella seconda riga, la terza colonna ha (ab = 0), ma a non può essere zero, perché altrimenti l'uguaglianza degli elementi nella seconda riga e nella seconda colonna non sarebbe soddisfatta. Allora necessariamente b = 0. Sostituendo b al valore 0 abbiamo:
Quindi l'equazione è risolta: 2a ^ 2 = 1, le cui soluzioni sono: + ½√2 e -½√2.
Prendendo la soluzione positiva per a, si ottiene la seguente matrice ortogonale:
Il lettore può facilmente verificare che i vettori riga (e anche i vettori colonna) sono ortogonali e unitari, cioè ortonormali.
Esempio 4
Mostra che la matrice A i cui vettori riga sono v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) e v3 = (0 0 -1) è una matrice ortogonale. Inoltre trova i vettori vengono trasformati dalla base canonica i, j, k ai vettori u1 , u2 e u3 .
Soluzione: Va ricordato che l'elemento (i, j) di una matrice moltiplicato per la sua trasposizione, è il prodotto scalare del vettore della riga (i) per quello della colonna (j) della trasposizione. Inoltre, questo prodotto è uguale al delta di Kronecker nel caso in cui la matrice sia ortogonale:
Nel nostro caso assomiglia a questo:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Con il quale si dimostra che si tratta di una matrice ortogonale.
Inoltre u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) e infine u3 = A k = (0, 0, -1)
Riferimenti
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Passa la pubblicazione.
- Birkhoff e MacLane. (1980). Algebra moderna, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introduzione all'algebra lineare. Editoriale ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Matrice ortogonale. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Matrice ortogonale. Estratto da: en.wikipedia.com