METODO GAUSS-SEIDEL: SPIEGAZIONE, APPLICAZIONI, ESEMPI - MATEMATICA - 2025

Il metodo Gauss-Seidel è una procedura iterativa per trovare soluzioni approssimative a un sistema di equazioni algebriche lineari con precisione scelta arbitrariamente. Il metodo è applicato a matrici quadrate con elementi diversi da zero nelle loro diagonali e la convergenza è garantita se la matrice è diagonalmente dominante.

Fu creato da Carl Friedrich Gauss (1777-1855), che diede una dimostrazione privata a uno dei suoi studenti nel 1823. Fu successivamente pubblicato formalmente da Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) nel 1874, da cui il nome di entrambi i matematici.

Figura 1. Il metodo Gauss-Seidel converge rapidamente per ottenere la soluzione di un sistema di equazioni. Fonte: F. Zapata.

Per una completa comprensione del metodo, è necessario sapere che una matrice è diagonalmente dominante quando il valore assoluto dell'elemento diagonale di ciascuna riga è maggiore o uguale alla somma dei valori assoluti degli altri elementi di quella stessa riga.

Matematicamente si esprime così:

Spiegazione utilizzando un caso semplice

Per illustrare in cosa consiste il metodo Gauss-Seidel, prenderemo un semplice caso, in cui i valori di X e Y possono essere trovati nel sistema 2 × 2 di equazioni lineari mostrato di seguito:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Passi da seguire

1- In primo luogo, è necessario determinare se la convergenza è sicura. Si osserva subito che, in effetti, si tratta di un sistema a predominanza diagonale, poiché nella prima riga il primo coefficiente ha un valore assoluto maggiore rispetto agli altri della prima riga:

-5 -> - 2-

Allo stesso modo, anche il secondo coefficiente nella seconda riga è dominante diagonalmente:

--4 -> - 1-

2- Le variabili X e Y vengono cancellate:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Viene inserito un valore iniziale arbitrario, chiamato "seed": Xo = 1, I = 2.

4-Inizia l'iterazione: per ottenere la prima approssimazione X1, Y1, il seme viene sostituito nella prima equazione del passaggio 2 e il risultato nella seconda equazione del passaggio 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Procediamo in modo simile per ottenere la seconda approssimazione della soluzione del sistema di equazioni:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Terza iterazione:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Quarta iterazione, come iterazione finale di questo caso illustrativo:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Questi valori concordano abbastanza bene con la soluzione trovata con altri metodi di risoluzione. Il lettore può controllarlo rapidamente con l'aiuto di un programma di matematica online.

Analisi del metodo

Come si può vedere, nel metodo Gauss-Seidel, i valori approssimativi ottenuti per la variabile precedente in quello stesso passaggio devono essere sostituiti nella variabile successiva. Questo lo differenzia da altri metodi iterativi come quello di Jacobi, in cui ogni passaggio richiede le approssimazioni della fase precedente.

Il metodo Gauss-Seidel non è una procedura parallela, mentre il metodo Gauss-Jordan lo è. È anche il motivo per cui il metodo Gauss-Seidel ha una convergenza più rapida - in meno passaggi - rispetto al metodo Jordan.

Per quanto riguarda la condizione della matrice dominante diagonalmente, questa non è sempre soddisfatta. Tuttavia, nella maggior parte dei casi è sufficiente scambiare semplicemente le righe dal sistema originale per soddisfare la condizione. Inoltre, il metodo converge quasi sempre, anche quando la condizione di dominanza diagonale non è soddisfatta.

Il risultato precedente, ottenuto da quattro iterazioni del metodo Gauss-Seidel, può essere scritto in forma decimale:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

La soluzione esatta al sistema di equazioni proposto è:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Quindi con sole 4 iterazioni ottieni un risultato con un millesimo di precisione (0,001).

La figura 1 illustra come le iterazioni successive convergono rapidamente alla soluzione esatta.

applicazioni

Il metodo Gauss-Seidel non è limitato al solo sistema 2 × 2 di equazioni lineari. La procedura precedente può essere generalizzata per risolvere un sistema lineare di n equazioni con n incognite, che è rappresentato in una matrice come questa:

A X = b

Dove A è una matrice nxn, mentre X è il vettore n componenti delle n variabili da calcolare; e b è un vettore contenente i valori dei termini indipendenti.

Per generalizzare la sequenza di iterazioni applicata nel caso illustrativo ad un sistema nxn, da cui si vuole calcolare la variabile Xi, si applicherà la seguente formula:

In questa equazione:

- k è l'indice per il valore ottenuto nell'iterazione k.

-k + 1 indica il nuovo valore di seguito.

Il numero finale di iterazioni è determinato quando il valore ottenuto nell'iterazione k + 1 differisce da quello ottenuto immediatamente prima, di una quantità ε che è proprio la precisione desiderata.

Esempi del metodo Gauss-Seidel

- Esempio 1

Scrivi un algoritmo generale che permetta di calcolare il vettore di soluzioni approssimative X di un sistema lineare di equazioni nxn, data la matrice dei coefficienti A, il vettore dei termini indipendenti b , il numero di iterazioni (i ter) e il valore iniziale o "seme "del vettore X .

Soluzione

L'algoritmo è costituito da due cicli "A", uno per il numero di iterazioni e l'altro per il numero di variabili. Sarebbe il seguente:

Per k ∊

Per i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Esempio 2

Verifica il funzionamento dell'algoritmo precedente tramite la sua applicazione nel software matematico gratuito e gratuito SMath Studio, disponibile per Windows e Android. Prendiamo come esempio il caso della matrice 2 × 2 che ci ha aiutato a illustrare il metodo Gauss-Seidel.

Soluzione

Figura 2. Soluzione del sistema di equazioni dell'esempio 2 x 2, utilizzando il software SMath Studio. Fonte: F. Zapata.

- Esempio 3

Applicare l'algoritmo di Gauss-Seidel per il seguente sistema di equazioni 3 × 3, che è stato precedentemente ordinato in modo tale che i coefficienti della diagonale siano dominanti (cioè di valore assoluto maggiore dei valori assoluti dei coefficienti di la stessa riga):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Usa il vettore nullo come seme e considera cinque iterazioni. Commenta il risultato.

Soluzione

Figura 3. Soluzione del sistema di equazioni dell'esempio 3 risolto, utilizzando SMath Studio. Fonte: F. Zapata.

Per lo stesso sistema con 10 iterazioni invece di 5 si ottengono i seguenti risultati: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Questo ci dice che cinque iterazioni sono sufficienti per ottenere tre cifre decimali di precisione e che il metodo converge rapidamente alla soluzione.

- Esempio 4

Utilizzando l'algoritmo di Gauss-Seidel dato sopra, trova la soluzione al sistema di equazioni 4 × 4 indicato di seguito:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Per avviare il metodo, utilizza questo seme:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 e x4 = 0

Considera 10 iterazioni e stima l'errore del risultato, confrontandolo con l'iterazione numero 11.

Soluzione

Figura 4. Soluzione del sistema di equazioni dell'esempio 4 risolto, utilizzando SMath Studio. Fonte: F. Zapata.

Quando si confronta con l'iterazione successiva (numero 11), il risultato è identico. Le differenze maggiori tra le due iterazioni sono dell'ordine di 2 × 10 ^-8 , il che significa che la soluzione visualizzata ha una precisione di almeno sette cifre decimali.

Riferimenti

1. Metodi di soluzione iterativa. Gauss-Seidel. Recupero da: cimat.mx
2. Metodi numerici. Gauss-Seidel. Recupero da: test.cua.uam.mx
3. Numerico: metodo Gauss-Seidel. Estratto da: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Metodo Gauss-Seidel. Estratto da: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Metodo Gauss-Seidel. Estratto da: es.wikipedia.com