- Qual è il metodo di Eulero?
- Esercizi risolti
- Esercizio 1
- Soluzione
- Esercizio 2
- Soluzione
- Esercizio 3
- Soluzione
- Dinamica newtoniana e metodo di Eulero
- Esercizio 4
- Soluzione
- Proposte di esercizi per la casa
- Esercizio 1
- Esercizio 2
- Riferimenti
Il metodo di Eulero è la procedura più elementare e semplice utilizzata per trovare soluzioni numeriche approssimative a un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine, a condizione che la condizione iniziale sia nota.
Un'equazione differenziale ordinaria (ODE) è l'equazione che mette in relazione una funzione sconosciuta di una singola variabile indipendente con le sue derivate.
Approssimazioni successive con il metodo di Eulero. Fonte: Oleg Alexandrov
Se la derivata più grande che appare nell'equazione è di grado uno, allora è un'equazione differenziale ordinaria di primo grado.
Il modo più generale per scrivere un'equazione di primo grado è:
x = x 0
y = y 0
Qual è il metodo di Eulero?
L'idea del metodo di Eulero è trovare una soluzione numerica all'equazione differenziale nell'intervallo tra X 0 e X f .
Innanzitutto, l'intervallo è discretizzato in n + 1 punti:
x 0 , x 1 , x 2 , x 3 …, x n
Che si ottengono in questo modo:
x i = x 0 + ih
Dove h è la larghezza o il passo dei sottointervalli:
Con la condizione iniziale, poi, è anche possibile conoscere la derivata all'inizio:
y '(x o ) = f (x o , y o )
Questa derivata rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva della funzione y (x) precisamente nel punto:
Ao = (x o , y o )
Quindi una previsione approssimativa del valore della funzione y (x) viene effettuata nel punto seguente:
y (x 1 ) ≈ y 1
y 1 = y o + (x 1 - x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
Si è quindi ottenuto il successivo punto approssimativo della soluzione, che corrisponderebbe a:
A 1 = (x 1 , y 1 )
La procedura viene ripetuta per ottenere i punti successivi
A 2 , A 3 …, x n
Nella figura mostrata all'inizio, la curva blu rappresenta la soluzione esatta dell'equazione differenziale, e quella rossa rappresenta i successivi punti approssimativi ottenuti con la procedura di Eulero.
Esercizi risolti
Esercizio 1
I ) Sia l'equazione differenziale:
Con la condizione iniziale x = a = 0; e a = 1
Usando il metodo di Eulero, ottieni una soluzione approssimativa di y alla coordinata X = b = 0,5, suddividendo l'intervallo in n = 5 parti.
Soluzione
I risultati numerici sono riassunti come segue:
Da cui si conclude che la soluzione Y per il valore 0,5 è 1,4851.
Nota: Smath Studio, un programma gratuito per uso gratuito, è stato utilizzato per eseguire i calcoli.
Esercizio 2
II ) Continuando con l'equazione differenziale dell'esercizio I), trova la soluzione esatta e confrontala con il risultato ottenuto con il metodo di Eulero. Trova l'errore o la differenza tra il risultato esatto e quello approssimativo.
Soluzione
La soluzione esatta non è molto difficile da trovare. La derivata della funzione sin (x) è nota per essere la funzione cos (x). Pertanto la soluzione y (x) sarà:
y (x) = sin x + C
Affinché la condizione iniziale sia soddisfatta e (0) = 1, la costante C deve essere uguale a 1. Il risultato esatto viene quindi confrontato con quello approssimativo:
Si conclude che nell'intervallo calcolato l'approssimazione ha tre cifre significative di precisione.
Esercizio 3
III ) Considera l'equazione differenziale e le sue condizioni iniziali riportate di seguito:
y '(x) = - y 2
Con la condizione iniziale x 0 = 0; e 0 = 1
Usa il metodo di Eulero per trovare valori approssimativi della soluzione y (x) nell'intervallo x =. Utilizzare il passaggio h = 0,1.
Soluzione
Il metodo di Eulero è molto adatto per l'uso con un foglio di calcolo. In questo caso utilizzeremo il foglio di calcolo di geogebra, un programma gratuito e open source.
Il foglio di calcolo nella figura mostra tre colonne (A, B, C) la prima è la variabile x, la seconda colonna rappresenta la variabile y e la terza colonna è la derivata y '.
La riga 2 contiene i valori iniziali di X, Y, Y '.
Il passaggio del valore 0.1 è stato inserito nella cella della posizione assoluta ($ D $ 4).
Il valore iniziale di y0 è nella cella B2 e y1 è nella cella B3. Per calcolare y 1 si usa la formula:
y 1 = y o + (x 1 - x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )
Questa formula del foglio di calcolo sarebbe il numero B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
Allo stesso modo y2 sarebbe nella cella B4 e la sua formula è mostrata nella figura seguente:
La figura mostra anche il grafico della soluzione esatta e i punti A, B,…, P della soluzione approssimata con il metodo di Eulero.
Dinamica newtoniana e metodo di Eulero
La dinamica classica è stata sviluppata da Isaac Newton (1643-1727). La motivazione originaria di Leonard Euler (1707 - 1783) a sviluppare il suo metodo, era proprio quella di risolvere l'equazione della seconda legge di Newton in varie situazioni fisiche.
La seconda legge di Newton è solitamente espressa come un'equazione differenziale di secondo grado:
Dove x rappresenta la posizione di un oggetto al tempo t. Detto oggetto ha massa m ed è sottoposto ad una forza F. La funzione f è correlata alla forza e alla massa come segue:
Per applicare il metodo di Eulero sono necessari i valori iniziali di tempo t, velocità ve posizione x.
La tabella seguente spiega come a partire dai valori iniziali t1, v1, x1 si possa ottenere un'approssimazione della velocità v2 e della posizione x2, all'istante t2 = t1 + Δt, dove Δt rappresenta un piccolo aumento e corrisponde al passo nel Eulero.
Esercizio 4
IV ) Uno dei problemi fondamentali in meccanica è quello di un blocco di massa M legato ad una molla (o molla) di costante elastica K.
La seconda legge di Newton per questo problema sarebbe simile a questa:
In questo esempio, per semplicità prenderemo M = 1 e K = 1. Trova soluzioni approssimative per la posizione x e la velocità v con il metodo di Eulero sull'intervallo di tempo suddividendo l'intervallo in 12 parti.
Prendi 0 come istante iniziale, velocità iniziale 0 e posizione iniziale 1.
Soluzione
I risultati numerici sono riportati nella tabella seguente:
Vengono visualizzati anche i grafici della posizione e della velocità tra i tempi 0 e 1,44.
Proposte di esercizi per la casa
Esercizio 1
Usa un foglio di calcolo per determinare una soluzione approssimativa usando il metodo di Eulero per l'equazione differenziale:
y '= - Exp (-y) con le condizioni iniziali x = 0, y = -1 nell'intervallo x =
Inizia con un passaggio di 0,1. Traccia il risultato.
Esercizio 2
Utilizzando un foglio di calcolo, trova soluzioni numeriche alla seguente equazione quadratica, dove y è una funzione della variabile indipendente t.
y '' = - 1 / y² con la condizione iniziale t = 0; e (0) = 0,5; y '(0) = 0
Trova la soluzione nell'intervallo usando un passo di 0,05.
Traccia il risultato: y vs t; y 'vs t
Riferimenti
- Metodo Eurler Tratto da wikipedia.org
- Risolutore di Eulero. Tratto da en.smath.com