MATRICE INVERSA: CALCOLO ED ESERCIZIO RISOLTO - MATEMATICA - 2025

La matrice inversa di una data matrice è la matrice che moltiplicata per l'originale dà la matrice identità. La matrice inversa è utile per risolvere sistemi di equazioni lineari, da qui l'importanza di saperla calcolare.

Le matrici sono molto utili in fisica, ingegneria e matematica, poiché sono uno strumento compatto per risolvere problemi complessi. L'utilità delle matrici è potenziata quando sono invertibili e si conosce anche il loro inverso.

Figura 1. Sono mostrate una matrice 2 × 2 generica e la sua matrice inversa. (Preparato da Ricardo Pérez)

Nei campi dell'elaborazione grafica, Big Data, Data Mining, Machine Learning e altri, vengono utilizzati algoritmi efficienti e veloci per valutare la matrice inversa di matrici nxn con n molto grandi, nell'ordine di migliaia o milioni.

Per illustrare l'uso della matrice inversa nella gestione di un sistema di equazioni lineari, inizieremo con il caso più semplice di tutti: matrici 1 × 1.

Il caso più semplice: si considera un'equazione lineare di una singola variabile: 2 x = 10.

L'idea è trovare il valore di x, ma sarà fatto "matrice".

La matrice M = (2) che moltiplica il vettore (x) è una matrice 1 × 1 che risulta nel vettore (10):

M (x) = (10)

L'inverso della matrice M è indicato con M ^-1 .

Il modo generale per scrivere questo "sistema lineare" è:

MX = B, dove X è il vettore (x) e B è il vettore (10).

Per definizione, la matrice inversa è quella che moltiplicata per la matrice originale risulta nella matrice identità I:

M ^-1 M = I

Nel caso considerato, la matrice M ^-1 è la matrice (½), ovvero M ^-1 = (½) poiché M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Per trovare il vettore sconosciuto X = (x), nell'equazione proposta, entrambi i membri vengono moltiplicati per la matrice inversa:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

È stata raggiunta l'uguaglianza di due vettori, che sono uguali solo quando i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè x = 5.

Calcolo dell'inverso di una matrice

Ciò che motiva il calcolo della matrice inversa è trovare un metodo universale per la soluzione di sistemi lineari come il seguente sistema 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Seguendo i passaggi del caso 1 × 1, studiato nella sezione precedente, scriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale:

Figura 2. Sistema lineare in forma di matrice.

Si noti che questo sistema è scritto in notazione vettoriale compatta come segue:

MX = B

dove

Il prossimo passo è trovare l'inverso di M.

Metodo 1: utilizzo dell'eliminazione gaussiana

Verrà applicato il metodo di eliminazione gaussiana. Che consiste nel fare operazioni elementari sulle righe della matrice, queste operazioni sono:

- Moltiplica una riga per un numero diverso da zero.

- Aggiungi o sottrai un'altra riga da una riga o il multiplo di un'altra riga.

- Scambia le righe.

L'obiettivo è, attraverso queste operazioni, convertire la matrice originaria nella matrice identità.

Fatto ciò, nella matrice M vengono applicate esattamente le stesse operazioni alla matrice identità. Quando, dopo diverse operazioni sulle righe, M viene trasformato nella matrice unitaria, allora quella che originariamente era l'unità diventerà la matrice inversa di M, ovvero M ^-1 .

1- Iniziamo il processo scrivendo la matrice M e accanto ad essa la matrice unitaria:

2- Aggiungiamo le due righe e mettiamo il risultato nella seconda riga, in questo modo otteniamo uno zero nel primo elemento della seconda riga:

3- Moltiplichiamo la seconda riga per -1 per ottenere 0 e 1 nella seconda riga:

4- La prima riga viene moltiplicata per ½:

5- Vengono aggiunti il ​​secondo e il primo e il risultato viene posizionato nella prima riga:

6- A questo punto per terminare il processo, la prima riga viene moltiplicata per 2 per ottenere la matrice identità nella prima riga e la matrice inversa della matrice originale M nella seconda:

Vale a dire:

Soluzione di sistema

Una volta ottenuta la matrice inversa, il sistema di equazioni viene risolto applicando la matrice inversa ad entrambi i membri dell'equazione vettoriale compatta:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Che appare esplicitamente così:

Quindi viene eseguita la moltiplicazione della matrice per ottenere il vettore X:

Metodo 2: utilizzo della matrice allegata

In questo secondo metodo matrice inversa viene calcolato dalla matrice aggiunta della matrice originale A .

Supponiamo che una matrice A data da:

dove _{i, j} è l'elemento della riga ie colonna j della matrice A .

L'aggiunto della matrice A sarà chiamato Adj (A) e i suoi elementi sono:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

dove Ai, j è la matrice inferiore complementare ottenuto eliminando la riga ie colonna j della matrice originale A . Le barre ¦ ¦ indicano che il determinante è calcolato, cioè ¦Ai, j¦ è il determinante della matrice complementare minore.

Formula di matrice inversa

La formula per trovare la matrice inversa a partire dalla matrice adiacente della matrice originale è la seguente:

È la matrice inversa di A , A ^-1 , è la trasposta l'aggiunto di A diviso per il determinante di A .

La trasposizione A ^T di una matrice A si ottiene scambiando righe per colonne, cioè la prima riga diventa la prima colonna e la seconda riga diventa la seconda colonna e così via fino al completamento delle n righe della matrice originale.

Esercizio risolto

Sia la matrice A la seguente:

Ogni elemento della matrice aggiunta di A viene calcolato: Adj (A)

Il risultato è che la matrice aggiunta di A, Adj (A) è la seguente:

Quindi viene calcolato il determinante della matrice A, det (A):

Infine si ottiene la matrice inversa di A:

Riferimenti

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Passa la pubblicazione.
2. Awol Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Introduzione all'algebra lineare. Editoriale ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
7. Matrice. Pubblicazione accademica di Lap Lambert.