- Equazione
- Concetto
- caratteristiche
- Esempio di applicazione
- Esempio 2
- Soluzione
- Esempio 3
- Soluzione
- Riferimenti
La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità in base alla quale viene calcolata la probabilità del verificarsi di eventi, a condizione che si verifichino sotto due modalità: successo o fallimento.
Queste designazioni (successo o fallimento) sono completamente arbitrarie, poiché non significano necessariamente cose buone o cattive. Durante questo articolo indicheremo la forma matematica della distribuzione binomiale e poi verrà spiegato in dettaglio il significato di ogni termine.
Figura 1. Il lancio di un dado è un fenomeno che può essere modellato utilizzando la distribuzione binomiale. Fonte: Pixabay.
Equazione
L'equazione è la seguente:
Con x = 0, 1, 2, 3… .n, dove:
- P (x) è la probabilità di avere esattamente x successi tra n tentativi o prove.
- x è la variabile che descrive il fenomeno di interesse, corrispondente al numero di successi.
- n il numero di tentativi
- p è la probabilità di successo in 1 tentativo
- q è la probabilità di fallimento in 1 tentativo, quindi q = 1 - p
Il punto esclamativo "!" è usato per la notazione fattoriale, quindi:
0! = 1
uno! = 1
Due! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
E così via.
Concetto
La distribuzione binomiale è molto appropriata per descrivere situazioni in cui si verifica o non si verifica un evento. Se si verifica è un successo e se no, allora è un fallimento. Inoltre, la probabilità di successo deve rimanere sempre costante.
Ci sono fenomeni che si adattano a queste condizioni, ad esempio il lancio di una moneta. In questo caso, possiamo dire che "il successo" è ottenere una faccia. La probabilità è ½ e non cambia, indipendentemente da quante volte viene lanciata la moneta.
Il lancio di un dado onesto è un altro buon esempio, così come la classificazione di una certa produzione in pezzi buoni e pezzi difettosi e ottenere il rosso invece del nero quando si gira una ruota della roulette.
caratteristiche
Possiamo riassumere le caratteristiche della distribuzione binomiale come segue:
- Qualsiasi evento o osservazione viene estratto da una popolazione infinita senza sostituzione o da una popolazione finita con sostituzione.
- Vengono considerate solo due opzioni, che si escludono a vicenda: successo o fallimento, come spiegato all'inizio.
- La probabilità di successo deve essere costante in ogni osservazione che viene fatta.
- Il risultato di qualsiasi evento è indipendente da qualsiasi altro evento.
- La media della distribuzione binomiale è np
- La deviazione standard è:
Esempio di applicazione
Prendiamo un semplice evento, che potrebbe essere ottenere 2 teste 5 tirando un dado onesto 3 volte. Qual è la probabilità che in 3 lanci si ottengano 2 teste di 5?
Esistono diversi modi per ottenere ciò, ad esempio:
- I primi due lanci sono 5 e l'ultimo no.
- Il primo e l'ultimo sono 5 ma non quello centrale.
- Gli ultimi due lanci sono 5 e il primo no.
Prendiamo la prima sequenza descritta come esempio e calcoliamo la sua probabilità di accadimento. La probabilità di ottenere un 5 testa al primo tiro è 1/6, e anche al secondo, poiché sono eventi indipendenti.
La probabilità di ottenere un'altra testa diversa da 5 nell'ultimo tiro è 1 - 1/6 = 5/6. Pertanto, la probabilità che questa sequenza esca è il prodotto delle probabilità:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
E le altre due sequenze? Hanno la stessa probabilità: 0,023.
E poiché abbiamo un totale di 3 sequenze riuscite, la probabilità totale sarà:
Esempio 2
Un'università afferma che l'80% degli studenti della squadra di basket del college si laurea. Un'indagine esamina il curriculum accademico di 20 studenti appartenenti a detta squadra di basket che da tempo si sono iscritti all'università.
Di questi 20 studenti, 11 hanno terminato gli studi e 9 hanno abbandonato.
Figura 2. Quasi tutti gli studenti che giocano per la squadra del college si diplomano. Fonte: Pixabay.
Se l'affermazione dell'università è vera, il numero di studenti che giocano a basket e si diplomano, su 20, dovrebbe avere una distribuzione binomiale con n = 20 ep = 0,8. Qual è la probabilità che esattamente 11 dei 20 giocatori si diplomino?
Soluzione
Nella distribuzione binomiale:
Esempio 3
I ricercatori hanno condotto uno studio per determinare se ci fossero differenze significative nei tassi di laurea tra studenti di medicina ammessi attraverso programmi speciali e studenti di medicina ammessi attraverso criteri di ammissione regolari.
Il tasso di laurea è risultato essere del 94% per i medici studenti ammessi attraverso programmi speciali (sulla base dei dati del Journal of the American Medical Association).
Se 10 studenti dei programmi speciali vengono selezionati in modo casuale, trova la probabilità che almeno 9 di loro si siano laureati.
b) Sarebbe insolito selezionare a caso 10 studenti da programmi speciali e scoprire che solo 7 di loro si sono diplomati?
Soluzione
La probabilità che uno studente ammesso tramite un corso speciale si laurea è 94/100 = 0,94. Scegliamo n = 10 studenti dai programmi speciali e vogliamo scoprire la probabilità che almeno 9 di loro si diplomino.
I seguenti valori vengono quindi sostituiti nella distribuzione binomiale:
b)
Riferimenti
- Berenson, M. 1985. Statistics for Management and Economics. Interamericana SA
- MathWorks. Distribuzione binomiale. Estratto da: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3 °. edizione. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Statistica di base applicata. 2 °. Edizione.
- Triola, M. 2012. Statistica elementare. 11 °. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Distribuzione binomiale. Estratto da: es.wikipedia.org