DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA: FORMULE, EQUAZIONI, MODELLO - DUDAS - 2026

La distribuzione ipergeometrica è una funzione statistica discreta, adatta per calcolare la probabilità in esperimenti randomizzati con due possibili esiti. La condizione che è richiesta per applicarlo è che si tratti di popolazioni piccole, in cui i prelievi non vengono sostituiti e le probabilità non sono costanti.

Pertanto, quando si sceglie un elemento della popolazione per conoscere il risultato (vero o falso) di una certa caratteristica, quello stesso elemento non può essere scelto di nuovo.

Figura 1. In una popolazione di bulloni come questa, ci sono sicuramente campioni difettosi. Fonte: Pixabay.

Certamente, è quindi più probabile che l'elemento successivo scelto ottenga un risultato vero, se l'elemento precedente ha avuto un risultato negativo. Ciò significa che la probabilità varia man mano che gli elementi vengono estratti dal campione.

Le principali applicazioni della distribuzione ipergeometrica sono: il controllo di qualità nei processi con poca popolazione e il calcolo delle probabilità nei giochi d'azzardo.

Per quanto riguarda la funzione matematica che definisce la distribuzione ipergeometrica, si compone di tre parametri, che sono:

- Numero di elementi della popolazione (N)

- Dimensione del campione (m)

- Numero di eventi nell'intera popolazione con esito favorevole (o sfavorevole) della caratteristica studiata (n).

Formule ed equazioni

La formula per la distribuzione ipergeometrica dà la probabilità P che si verifichino x casi favorevoli di una certa caratteristica. Il modo per scriverlo matematicamente, basato sui numeri combinatori è:

Nella precedente espressione N, n e m sono parametri e x è la variabile stessa.

- La popolazione totale è N.

-Numero di risultati positivi di una certa caratteristica binaria rispetto alla popolazione totale è n.

-La quantità di elementi nel campione è m.

In questo caso, X è una variabile casuale che assume il valore x e P (x) indica la probabilità di occorrenza di x casi favorevoli della caratteristica studiata.

Importanti variabili statistiche

Altre variabili statistiche per la distribuzione ipergeometrica sono:

- Media μ = m * n / N

- Varianza σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Deviazione standard σ che è la radice quadrata della varianza.

Modello e proprietà

Per arrivare al modello della distribuzione ipergeometrica, partiamo dalla probabilità di ottenere x casi favorevoli in un campione di dimensione m. Questo campione contiene elementi conformi alla proprietà in esame ed elementi che non lo sono.

Ricordiamo che n rappresenta il numero di casi favorevoli nella popolazione totale di N elementi. Quindi la probabilità sarebbe calcolata in questo modo:

Esprimendo quanto sopra sotto forma di numeri combinatori, si raggiunge il seguente modello di distribuzione di probabilità:

Principali proprietà della distribuzione ipergeometrica

Sono i seguenti:

- Il campione deve essere sempre piccolo, anche se la popolazione è numerosa.

- Gli elementi del campione vengono estratti uno per uno, senza incorporarli nuovamente nella popolazione.

- La proprietà da studiare è binaria, cioè può assumere solo due valori: 1 o 0, oppure vero o falso.

In ogni fase di estrazione degli elementi, la probabilità cambia a seconda dei risultati precedenti.

Approssimazione utilizzando la distribuzione binomiale

Un'altra proprietà della distribuzione ipergeometrica è che può essere approssimata dalla distribuzione binomiale, indicata con Bi, purché la popolazione N sia grande e almeno 10 volte più grande del campione m. In questo caso sarebbe simile a questo:

La probabilità che x = 3 viti nel campione siano difettose è: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

Da parte sua, la probabilità che x = 4 viti su sessanta del campione siano difettose è: P (500, 5, 60; 4) = 0.0008.

Infine, la probabilità che x = 5 viti in quel campione siano difettose è: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Ma se vuoi conoscere la probabilità che in quel campione ci siano più di 3 viti difettose, allora devi ottenere la probabilità cumulativa, aggiungendo:

Questo esempio è illustrato nella figura 2, ottenuta utilizzando GeoGebra, un software gratuito ampiamente utilizzato nelle scuole, istituti e università.

Figura 2. Esempio di distribuzione ipergeometrica. Preparato da F. Zapata con GeoGebra.

Esempio 2

Un mazzo spagnolo ha 40 carte, di cui 10 hanno l'oro e le restanti 30 no. Supponiamo che 7 carte vengano pescate a caso da quel mazzo, che non vengono reincorporate nel mazzo.

Se X è il numero di ori presenti nelle 7 carte estratte, allora la probabilità di avere x ori in un'estrazione di 7 carte è data dalla distribuzione ipergeometrica P (40,10,7; x).

Vediamo così: per calcolare la probabilità di avere 4 ori in un'estrazione di 7 carte usiamo la formula della distribuzione ipergeometrica con i seguenti valori:

E il risultato è: 4,57% di probabilità.

Ma se vuoi conoscere la probabilità di ottenere più di 4 carte, devi aggiungere:

Esercizi risolti

Il seguente insieme di esercizi ha lo scopo di illustrare e assimilare i concetti che sono stati presentati in questo articolo. È importante che il lettore cerchi di risolverli da solo, prima di guardare alla soluzione.

Esercizio 1

Una fabbrica di preservativi ha scoperto che su 1000 preservativi prodotti da una determinata macchina, 5 sono difettosi. Per il controllo di qualità, vengono presi a caso 100 preservativi e il lotto viene scartato se almeno uno o più difettosi. Risposta:

a) Qual è la possibilità che venga scartato un lotto di 100?

b) Questo criterio di controllo della qualità è efficiente?

Soluzione

In questo caso, appariranno numeri combinatori molto grandi. Il calcolo è difficile, a meno che non si disponga di un pacchetto software adatto.

Ma poiché si tratta di una popolazione ampia e il campione è dieci volte più piccolo della popolazione totale, è possibile utilizzare l'approssimazione della distribuzione ipergeometrica tramite la distribuzione binomiale:

Nell'espressione sopra C (100, x) è un numero combinatorio. Quindi la probabilità di avere più di un difetto verrà calcolata in questo modo:

È un'ottima approssimazione, se confrontata con il valore ottenuto applicando la distribuzione ipergeometrica: 0.4102

Si può dire che, con una probabilità del 40%, un lotto di 100 profilattici dovrebbe essere scartato, il che non è molto efficiente.

Tuttavia, essendo un po 'meno impegnativo nel processo di controllo della qualità e scartando il lotto di 100 solo se ci sono due o più difetti, la probabilità di scartare il lotto scenderà solo all'8%.

Esercizio 2

Una macchina per blocchi di plastica funziona in modo tale che su 10 pezzi uno esce deformato. In un campione di 5 pezzi, quanto è probabile che solo un pezzo sia difettoso?

Soluzione

Popolazione: N = 10

Numero n di difetti per ogni N: n = 1

Taglia in foto: m = 5

Quindi c'è una probabilità del 50% che in un campione di 5, un blocco venga deformato.

Esercizio 3

In una riunione di giovani diplomati delle scuole superiori ci sono 7 signore e 6 signori. Tra le ragazze, 4 studiano scienze umane e 3 scienze. Nel gruppo dei ragazzi, 1 studia scienze umane e 5 scienze. Calcola quanto segue:

a) Scegliere tre ragazze a caso: quante probabilità ci sono che studino tutte materie umanistiche?

b) Se tre partecipanti all'incontro degli amici vengono scelti a caso: qual è la possibilità che tre di loro, indipendentemente dal sesso, studino scienze tutte e tre, o scienze umane anche tutte e tre?

c) Ora seleziona due amici a caso e chiama x la variabile casuale "numero di coloro che studiano materie umanistiche". Tra i due scelti, determinare la media o il valore atteso di x e la varianza σ ^ 2.

Soluzione a

I valori da utilizzare ora sono:

-Popolazione: N = 14

-La quantità che studia le lettere è: n = 6 e il

-Dimensione del campione: m = 3.

-Numero di amici che studiano materie umanistiche: x

Secondo questo, x = 3 significa che tutti e tre studiano discipline umanistiche, ma x = 0 significa che nessuno studia discipline umanistiche. La probabilità che tutti e tre studino lo stesso è data dalla somma:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Quindi abbiamo una probabilità del 21% che tre partecipanti alla riunione, scelti a caso, studieranno la stessa cosa.

Soluzione c

Qui abbiamo i seguenti valori:

N = 14 popolazione totale di amici, n = 6 numero totale nella popolazione che studia materie umanistiche, la dimensione del campione è m = 2.

La speranza è:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

E la varianza:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0,4521

Riferimenti

1. Distribuzioni di probabilità discrete. Recupero da: biplot.usal.es
2. Statistica e probabilità. Distribuzione ipergeometrica. Estratto da: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Distribuzione ipergeometrica. Recupero da: ugr.es
4. Geogebra. Geogebra classica, calcolo delle probabilità. Recuperato da geogebra.org
5. Prova facile. Risolti problemi di distribuzione ipergeometrica. Estratto da: probafacil.com
6. Minitab. Distribuzione ipergeometrica. Recupero da: support.minitab.com
7. Università di Vigo. Principali distribuzioni discrete. Estratto da: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Statistica e calcolo combinatorio. Estratto da: vitutor.net
9. Weisstein, Eric W. Distribuzione ipergeometrica. Estratto da: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Distribuzione ipergeometrica. Estratto da: es.wikipedia.com