MODELLO ATOMICO DI DIRAC JORDAN: CARATTERISTICHE E POSTULATI - FISICO - 2025

Il modello atomico di Dirac-Jordan è la generalizzazione relativistica dell'operatore hamiltoniano nell'equazione che descrive la funzione d'onda quantistica dell'elettrone. A differenza del modello precedente, quello di Schrödinger, non è necessario imporre lo spin per mezzo del principio di esclusione di Pauli, poiché appare naturalmente.

Inoltre, il modello di Dirac-Jordan incorpora correzioni relativistiche, l'interazione spin-orbita e il termine Darwin, che spiegano la struttura fine dei livelli elettronici dell'atomo.

Figura 1. Orbitali elettronici nell'atomo di idrogeno per i primi tre livelli di energia. Fonte: Wikimedia Commons.

A partire dal 1928, gli scienziati Paul AM Dirac (1902-1984) e Pascual Jordan (1902-1980), decisero di generalizzare la meccanica quantistica sviluppata da Schrodinger, per includere le correzioni della relatività speciale di Einstein.

Dirac parte dall'equazione di Schrödinger, che consiste in un operatore differenziale, chiamato hamiltoniano, che opera su una funzione nota come funzione d'onda dell'elettrone. Tuttavia, Schrodinger non ha tenuto conto degli effetti relativistici.

Le soluzioni della funzione d'onda ci permettono di calcolare le regioni in cui con un certo grado di probabilità l'elettrone si troverà attorno al nucleo. Queste regioni o zone sono chiamate orbitali e dipendono da determinati numeri quantici discreti, che definiscono l'energia e il momento angolare dell'elettrone.

postulati

Nelle teorie della meccanica quantistica, relativistiche o meno, non esiste il concetto di orbite, poiché né la posizione né la velocità dell'elettrone possono essere specificate contemporaneamente. Inoltre, specificare una delle variabili porta alla totale imprecisione nell'altra.

Da parte sua, l'Hamiltoniano è un operatore matematico che agisce sulla funzione d'onda quantistica ed è costruito dall'energia dell'elettrone. Ad esempio, un elettrone libero ha un'energia totale E che dipende dal suo momento lineare p in questo modo:

E = ( p ² ) / 2m

Per costruire l'Hamiltoniano, partiamo da questa espressione e sostituiamo p per l'operatore quantistico per quantità di moto:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

È importante notare che le p e p termini sono differenti, poiché la prima è la quantità di moto e l'altro è l'operatore differenziale associato al moto.

Inoltre, i è l'unità immaginaria e ħ la costante di Planck divisa per 2π, in questo modo si ottiene l'operatore hamiltoniano H dell'elettrone libero:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Per trovare l'hamiltoniana dell'elettrone nell'atomo, aggiungi l'interazione dell'elettrone con il nucleo:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

Nella precedente espressione -e è la carica elettrica dell'elettrone e Φ (r) il potenziale elettrostatico prodotto dal nucleo centrale.

Ora, l'operatore H agisce sulla funzione d'onda ψ secondo l'equazione di Schrödinger, che si scrive così:

H ψ = (io ħ ∂ / ∂t) ψ

I quattro postulati di Dirac

Primo postulato : l'equazione d'onda relativistica ha la stessa struttura dell'equazione d'onda di Schrodinger, ciò che cambia è la H:

H ψ = (io ħ ∂ / ∂t) ψ

Secondo postulato : l'operatore hamiltoniano è costruito a partire dalla relazione energia-momento di Einstein, che si scrive come segue:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

Nella relazione precedente, se la particella ha quantità di moto p = 0 allora abbiamo la famosa equazione E = mc ² che mette in relazione l'energia a riposo di qualsiasi particella di massa m con la velocità della luce c.

Terzo postulato : per ottenere l'operatore hamiltoniano, viene utilizzata la stessa regola di quantizzazione utilizzata nell'equazione di Schrodinger:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

All'inizio non era chiaro come gestire questo operatore differenziale che agisce all'interno di una radice quadrata, così Dirac si è proposto di ottenere un operatore hamiltoniano lineare sull'operatore di quantità di moto e da lì è nato il suo quarto postulato.

Quarto postulato : per sbarazzarsi della radice quadrata nella formula dell'energia relativistica, Dirac ha proposto la seguente struttura per E ² :

Naturalmente, è necessario determinare i coefficienti alfa (α0, α1, α2, α3) affinché ciò sia vero.

L'equazione di Dirac

Nella sua forma compatta, l'equazione di Dirac è considerata una delle più belle equazioni matematiche del mondo:

Figura 2. Equazione di Dirac in forma compatta. Fonte: F. Zapata.

Ed è allora che diventa chiaro che le costanti alfa non possono essere quantità scalari. L'unico modo per soddisfare l'uguaglianza del quarto postulato è che sono matrici 4 × 4 costanti, note come matrici di Dirac:

Osserviamo immediatamente che la funzione d'onda cessa di essere una funzione scalare e diventa un vettore con quattro componenti chiamate spinore:

L'atomo di Dirac-Jordan

Per ottenere il modello atomico è necessario passare dall'equazione dell'elettrone libero a quella dell'elettrone nel campo elettromagnetico prodotto dal nucleo atomico. Questa interazione viene presa in considerazione incorporando il potenziale scalare Φ e il potenziale vettore A nell'Hamiltoniano:

La funzione d'onda (spinore) che risulta dall'incorporazione di questa Hamiltoniana ha le seguenti caratteristiche:

- Adempie alla relatività speciale, poiché tiene conto dell'energia intrinseca dell'elettrone (primo termine dell'Hamiltoniana relativistica)

- Ha quattro soluzioni corrispondenti ai quattro componenti dello spinore

- Le prime due soluzioni corrispondono una a spin + ½ e l'altra a spin - ½

- Infine, le altre due soluzioni predicono l'esistenza dell'antimateria, poiché corrispondono a quella dei positroni con spin opposti.

Il grande vantaggio dell'equazione di Dirac è che le correzioni all'Hamiltoniana di Schrodinger H (o) di base possono essere scomposte in diversi termini che mostreremo di seguito:

Nella precedente espressione V è il potenziale scalare, poiché il potenziale vettore A è zero se si assume che il protone centrale sia stazionario e quindi non appare.

La ragione per cui le correzioni di Dirac alle soluzioni Schrödinger nella funzione d'onda sono sottili. Derivano dal fatto che gli ultimi tre termini dell'Hamiltoniano corretto sono tutti divisi per la velocità c della luce al quadrato, un numero enorme, che rende questi termini numericamente piccoli.

Correzioni relativistiche allo spettro energetico

Usando l'equazione di Dirac-Jordan troviamo correzioni allo spettro di energia dell'elettrone nell'atomo di idrogeno. Le correzioni per l'energia negli atomi con più di un elettrone in forma approssimativa si trovano anche attraverso una metodologia nota come teoria delle perturbazioni.

Allo stesso modo, il modello di Dirac ci permette di trovare la correzione della struttura fine nei livelli di energia dell'idrogeno.

Tuttavia, correzioni ancora più sottili come la struttura iperfine e lo spostamento di Lamb si ottengono da modelli più avanzati come la teoria quantistica dei campi, nata proprio dai contributi del modello di Dirac.

La figura seguente mostra l'aspetto delle correzioni relativistiche di Dirac ai livelli di energia:

Figura 3. Correzioni del modello di Dirac ai livelli dell'atomo di idrogeno. Fonte: Wikimedia Commons.

Ad esempio, le soluzioni dell'equazione di Dirac prevedono correttamente uno spostamento osservato al livello 2s. È la ben nota correzione della struttura fine nella linea Lyman-alfa dello spettro dell'idrogeno (vedi figura 3).

A proposito, la struttura fine è il nome dato in fisica atomica per il raddoppio delle righe dello spettro di emissione degli atomi, che è una conseguenza diretta dello spin elettronico.

Figura 4. Suddivisione della struttura fine per lo stato fondamentale n = 1 e il primo stato eccitato n = 2 nell'atomo di idrogeno. Fonte: R Wirnata. Correzioni relativistiche agli atomi simili all'idrogeno. Researchgate.net

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Riferimenti

1. Teoria atomica. Estratto da wikipedia.org.
2. Momento magnetico dell'elettrone. Estratto da wikipedia.org.
3. Quanta: un manuale di concetti. (1974). La stampa dell'università di Oxford. Recuperato da Wikipedia.org.
4. Modello atomico di Dirac Jordan. Recuperato da prezi.com.
5. Il nuovo universo quantistico. Cambridge University Press. Recuperato da Wikipedia.org.