DISTRIBUZIONE DI POISSON: FORMULE, EQUAZIONI, MODELLO, PROPRIETÀ - DUDAS - 2026

La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta, mediante la quale è possibile conoscere la probabilità che, all'interno di un campione di grandi dimensioni e durante un certo intervallo, si verifichi un evento la cui probabilità è piccola.

Spesso, la distribuzione di Poisson può essere utilizzata al posto della distribuzione binomiale, purché siano soddisfatte le seguenti condizioni: grande campione e piccola probabilità.

Figura 1. Grafico della distribuzione di Poisson per diversi parametri. Fonte: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) ha creato questa distribuzione che porta il suo nome, molto utile quando si tratta di eventi imprevedibili. Poisson pubblicò i suoi risultati nel 1837, un lavoro di indagine sulla probabilità di accadimento di condanne penali errate.

Successivamente, altri ricercatori hanno adattato la distribuzione in altre aree, ad esempio il numero di stelle che si potevano trovare in un certo volume di spazio, o la probabilità che un soldato morisse a causa del calcio di un cavallo.

Formula ed equazioni

La forma matematica della distribuzione di Poisson è la seguente:

- μ (talvolta indicato anche come λ) è la media o il parametro della distribuzione

- Numero di Eulero: e = 2.71828

- La probabilità di ottenere y = k è P

- k è il numero di successi 0, 1,2,3 …

- n è il numero di test o eventi (la dimensione del campione)

Le variabili casuali discrete, come suggerisce il nome, dipendono dal caso e assumono solo valori discreti: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

La media della distribuzione è data da:

La varianza σ, che misura la diffusione dei dati, è un altro parametro importante. Per la distribuzione di Poisson è:

σ = μ

Poisson ha determinato che quando n → ∞ e p → 0, la media μ, chiamata anche valore atteso, tende a una costante:

-Gli eventi o gli eventi considerati sono indipendenti l'uno dall'altro e si verificano in modo casuale.

-La probabilità P che un determinato evento si verifichi durante un determinato periodo di tempo è molto piccola: P → 0.

-La probabilità che si verifichi più di un evento nell'intervallo di tempo è 0.

-Il valore medio approssima una costante data da: μ = np (n è la dimensione del campione)

-Poiché la dispersione σ è uguale a μ, poiché adotta valori maggiori, anche la variabilità diventa maggiore.

-Gli eventi devono essere distribuiti uniformemente nell'intervallo di tempo utilizzato.

-L'insieme dei possibili valori dell'evento y è: 0,1,2,3,4….

-La somma delle variabili i che seguono una distribuzione di Poisson è anche un'altra variabile di Poisson. Il suo valore medio è la somma dei valori medi di queste variabili.

Differenze con la distribuzione binomiale

La distribuzione di Poisson differisce dalla distribuzione binomiale nei seguenti importanti modi:

-La distribuzione binomiale è influenzata sia dalla dimensione campionaria n che dalla probabilità P, ma la distribuzione di Poisson è influenzata solo dalla media μ.

-In una distribuzione binomiale, i possibili valori della variabile casuale y sono 0,1,2,…, N, mentre nella distribuzione di Poisson non esiste un limite superiore per questi valori.

Esempi

Poisson inizialmente applicò la sua famosa distribuzione a casi legali, ma a livello industriale, uno dei suoi primi usi fu nella produzione di birra. In questo processo le colture di lievito vengono utilizzate per la fermentazione.

Il lievito è costituito da cellule viventi, la cui popolazione è variabile nel tempo. Nella produzione di birra, è necessario aggiungere la quantità necessaria, quindi è necessario conoscere il numero di celle per unità di volume.

Durante la seconda guerra mondiale la distribuzione di Poisson è stata utilizzata per scoprire se i tedeschi stavano effettivamente mirando a Londra da Calais, o semplicemente sparando a caso. Questo era importante per gli alleati per determinare quanto fosse buona la tecnologia a disposizione dei nazisti.

Applicazioni pratiche

Le applicazioni della distribuzione di Poisson si riferiscono sempre a conteggi nel tempo o a conteggi nello spazio. E poiché la probabilità che si verifichi è piccola, è anche conosciuta come la "legge degli eventi rari".

Ecco un elenco di eventi che rientrano in una di queste categorie:

-Registrazione delle particelle in un decadimento radioattivo, che, come la crescita delle cellule di lievito, è una funzione esponenziale.

-Numero di visite a un determinato sito web.

-Arrivo di persone a una fila per pagare o essere presenti (teoria delle code).

-Numero di auto che passano un certo punto su una strada, durante un dato intervallo di tempo.

Figura 2. Il numero di auto che passano per un punto segue approssimativamente una distribuzione di Poisson. Fonte: Pixabay.

-Mutazioni subite in una certa catena del DNA dopo aver ricevuto l'esposizione alle radiazioni.

-Numero di meteoriti di diametro superiore a 1 m caduti in un anno.

-Difetti per metro quadrato di tessuto.

-Quantità di cellule del sangue in 1 centimetro cubo.

-Chiamate al minuto a una centrale telefonica.

-Gocce di cioccolato presenti in 1 kg di pastella per dolci.

-Numero di alberi infettati da un certo parassita in 1 ettaro di foresta.

Si noti che queste variabili casuali rappresentano il numero di volte in cui un evento si verifica durante un periodo di tempo prefissato (chiamate al minuto alla centrale telefonica) o una data regione di spazio (difetti del tessuto per metro quadrato).

Questi eventi, come già stabilito, sono indipendenti dal tempo trascorso dall'ultima occorrenza.

Approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è una buona approssimazione della distribuzione binomiale fintanto che:

-La dimensione del campione è grande: n ≥ 100

-La probabilità p è piccola: p ≤ 0,1

- μ è nell'ordine di: np ≤ 10

In questi casi la distribuzione di Poisson è uno strumento eccellente, poiché la distribuzione binomiale può essere difficile da applicare in questi casi.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Uno studio sismologico ha determinato che negli ultimi 100 anni ci sono stati 93 grandi terremoti in tutto il mondo, di cui almeno 6,0 sulla scala Richter -logaritmica-. Supponiamo che la distribuzione di Poisson sia un modello adatto in questo caso. Trova:

a) Il verificarsi medio di grandi terremoti all'anno.

b) Se P (y) è la probabilità che si verifichino terremoti durante un anno selezionato casualmente, trova le seguenti probabilità:

È molto inferiore a P (2).

I risultati sono elencati di seguito:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Ad esempio, potremmo dire che esiste una probabilità del 39,5% che non si verifichi alcun terremoto di grande entità in un dato anno. O che in quell'anno si sono verificati il ​​5,29% di 3 grandi terremoti.

Soluzione c)

c) Si analizzano le frequenze moltiplicando per n = 100 anni:

39,5; 36,7; 17,1; 5.29; 1.23; 0,229; 0,0355 e 0,00471.

Per esempio:

- Una frequenza di 39,5 indica che, in 39,5 su 100 anni, si verificano 0 grandi terremoti, potremmo dire che è abbastanza vicino al risultato effettivo di 47 anni senza alcun grande terremoto.

Confrontiamo un altro risultato di Poisson con i risultati effettivi:

- Il valore ottenuto di 36,7 significa che in un periodo di 37 anni c'è 1 grande terremoto. Il risultato effettivo è che in 31 anni c'è stato 1 grande terremoto, una buona corrispondenza con il modello.

- Sono previsti 17,1 anni con 2 grandi terremoti ed è noto che in 13 anni, che è un valore vicino, ci sono stati effettivamente 2 grandi terremoti.

Pertanto il modello di Poisson è accettabile per questo caso.

Esercizio 2

Una società stima che il numero di componenti che si guastano prima di raggiungere 100 ore di funzionamento segue una distribuzione di Poisson. Se il numero medio di errori in quel lasso di tempo è 8, trova le seguenti probabilità:

a) Che un componente si guasta in 25 ore.

b) Guasto di meno di due componenti, in 50 ore.

c) Almeno tre componenti si guastano in 125 ore.

Soluzione a)

a) È noto che la media dei guasti in 100 ore è 8, quindi in 25 ore ci si aspetta un quarto di guasti, ovvero 2 guasti. Questo sarà il parametro μ.

Viene richiesta la probabilità che 1 componente fallisca, la variabile casuale è "componenti che falliscono prima di 25 ore" e il suo valore è y = 1. Sostituendo nella funzione di probabilità:

Tuttavia, la domanda è la probabilità che meno di due componenti si guastino in 50 ore, non che esattamente 2 componenti falliscano in 50 ore, quindi dobbiamo aggiungere le probabilità che:

-Nessuno fallire

- Solo guasto 1

Il parametro μ della distribuzione in questo caso è:

μ = 8 + 2 = 10 guasti in 125 ore.

P (3 o più componenti non funzionano) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Riferimenti

1. MathWorks. Distribuzione di Poisson. Estratto da: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3 °. edizione. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Insegna a te stesso le statistiche. Distribuzione di Poisson. Estratto da: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Statistica elementare. 11 °. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Distribuzione di Poisson. Estratto da: en.wikipedia.org