DERIVATE PARZIALI: NOTAZIONE, ESEMPI ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2024

Le derivate parziali di una funzione di più variabili sono quelle che determinano la velocità di variazione della funzione quando una delle variabili ha una variazione infinitesimale, mentre le altre variabili rimangono invariate.

Per rendere l'idea più concreta, supponiamo il caso di una funzione di due variabili: z = f (x, y). La derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile x è calcolata come derivata ordinaria rispetto a x, ma assumendo la variabile y come se fosse costante.

Figura 1. Funzione f (x, y) e sue derivate parziali ∂ _x f y ∂ _y f nel punto P. (Elaborato da R. Pérez con geogebra)

Notazione derivata parziale

L'operazione di derivata parziale della funzione f (x, y) sulla variabile x è indicata in uno dei seguenti modi:

Nelle derivate parziali viene utilizzato il simbolo ∂ (una sorta di lettera d arrotondata chiamata anche d di Jacobi), in contrapposizione alla derivata ordinaria per le funzioni a variabile singola dove la lettera d è usata per derivata.

In termini generali, la derivata parziale di una funzione multivariata, rispetto a una delle sue variabili, risulta in una nuova funzione nelle stesse variabili della funzione originale:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Calcolo e significato della derivata parziale

Per determinare la velocità di variazione o la pendenza della funzione per un punto specifico (x = a, y = b) nella direzione parallela all'asse X:

1- Si calcola la funzione ∂ _x f (x, y) = g (x, y), prendendo la derivata ordinaria nella variabile x e lasciando la variabile y fissa o costante.

2- Quindi si sostituisce il valore del punto x = a e y = b in cui vogliamo conoscere la velocità di variazione della funzione nella direzione x:

{Pendenza nella direzione x nel punto (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Per calcolare il tasso di variazione nella direzione y nel punto delle coordinate (a, b), prima calcola ∂ _e f (x, y) = h (x, y).

4- Quindi il punto (x = a, y = b) viene sostituito nel risultato precedente per ottenere:

{Pendenza nella direzione y nel punto (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Esempi di derivati ​​parziali

Alcuni esempi di derivate parziali sono i seguenti:

Esempio 1

Data la funzione:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Trova le derivate parziali della funzione f rispetto alla variabile x e alla variabile y.

Soluzione:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Si noti che per calcolare la derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile x, è stata eseguita la derivata ordinaria rispetto a x ma la variabile y è stata presa come se fosse costante. Allo stesso modo, nel calcolo della derivata parziale di f rispetto a y, la variabile x è stata presa come se fosse una costante.

La funzione f (x, y) è una superficie chiamata paraboloide mostrata nella figura 1 in colore ocra.

Esempio 2

Trova la velocità di variazione (o pendenza) della funzione f (x, y) dall'Esempio 1, nella direzione dell'asse X e dell'asse Y per il punto (x = 1, y = 2).

Soluzione: per trovare le pendenze nelle direzioni xey in un dato punto, è sufficiente sostituire i valori del punto nella funzione ∂ _x f (x, y) e nella funzione ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _e f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

La figura 1 mostra la tangente (in colore rosso) alla curva determinata dall'intersezione della funzione f (x, y) con il piano y = 2, la pendenza di questa linea è -2. La figura 1 mostra anche la tangente (in verde) alla curva che definisce l'intersezione della funzione f con il piano x = 1; Questa linea ha pendenza -4.

esercizi

Esercizio 1

Un bicchiere conico in un dato momento contiene acqua in modo che la superficie dell'acqua abbia raggio r e profondità h. Ma il vetro ha un piccolo foro sul fondo attraverso il quale l'acqua si perde a una velocità di C centimetri cubi al secondo. Determina la velocità di discesa dalla superficie dell'acqua in centimetri al secondo.

Soluzione:

Prima di tutto, è necessario ricordare che il volume d'acqua nell'istante dato è:

Il volume è una funzione di due variabili, raggio re profondità h: V (r, h).

Quando il volume cambia di una quantità infinitesimale dV, anche il raggio r della superficie dell'acqua e la profondità h dell'acqua cambiano secondo la seguente relazione:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Procediamo a calcolare le derivate parziali di V rispetto a re h rispettivamente:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Inoltre, il raggio r e la profondità h soddisfano la seguente relazione:

Dividendo entrambi i membri per il differenziale di tempo dt si ottiene:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Ma dV / dt è il volume d'acqua perso per unità di tempo che è noto essere C centimetri al secondo, mentre dh / dt è la velocità di discesa della superficie libera dell'acqua, che sarà chiamata v. Cioè, la superficie dell'acqua nell'istante dato scende ad una velocità v (in cm / s) data da:

v = C / (π r ^ 2).

Come applicazione numerica, supponiamo che r = 3 cm, h = 4 cm e il tasso di perdita C sia 3 cm ^ 3 / s. Quindi la velocità di discesa della superficie in quell'istante è:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Esercizio 2

Il teorema di Clairaut-Schwarz afferma che se una funzione è continua nelle sue variabili indipendenti e anche le sue derivate parziali rispetto alle variabili indipendenti sono continue, allora le derivate miste del secondo ordine possono essere scambiate. Controlla questo teorema per la funzione

f (x, y) = x ^ 2 y, cioè deve essere vero che f _xy f = ∂ _yx f.

Soluzione:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) mentre ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

È stato dimostrato che il teorema di Schwarz è valido, poiché la funzione f e le sue derivate parziali sono continue per tutti i numeri reali.

Riferimenti

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Calcolo 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Il calcolo con geometria analitica. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. e Rigdon, SE (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Calcolo diferenziale. Ipotenusa.
5. Saenz, J. (2006). Calcolo integrale. Ipotenusa.
6. Wikipedia. Derivata parziale. Estratto da: es.wikipedia.com