- Lunghezza della corda di un cerchio
- Teorema delle stringhe
- Risolti esercizi di archi
- - Esercizio 1
- Soluzione
- - Esercizio 2
- Soluzione
- Passaggio 1: ottieni l'equazione canonica della circonferenza
- Passaggio 2: determinare i segmenti da utilizzare nel teorema delle stringhe
- Riferimenti
Una corda , nella geometria piana, è il segmento di linea che unisce due punti su una curva. Si dice che la linea che contiene questo segmento sia una linea secante rispetto alla curva. Questo è spesso un cerchio, ma gli accordi possono certamente essere disegnati su molte altre curve, come ellissi e parabole.
Nella figura 1 a sinistra è presente una curva a cui appartengono i punti A e B. L'accordo tra A e B è il segmento verde. A destra c'è una circonferenza e una delle sue corde, poiché è possibile disegnare infiniti.
Figura 1. A sinistra la corda di una curva arbitraria ea destra la corda di un cerchio. Fonte: Wikimedia Commons.
Nella circonferenza è particolarmente interessante il suo diametro, noto anche come accordo maggiore. È una corda che contiene sempre il centro della circonferenza e misura il doppio del raggio.
La figura seguente mostra il raggio, il diametro, una corda e anche l'arco di una circonferenza. Identificare correttamente ciascuno di essi è importante quando si risolvono i problemi.
Figura 2. Elementi della circonferenza. Fonte: Wikimedia Commons.
Lunghezza della corda di un cerchio
Possiamo calcolare la lunghezza della corda in un cerchio dalle Figure 3a e 3b. Notare che un triangolo è sempre formato con due lati uguali (isosceli): i segmenti OA e OB, che misurano R, il raggio della circonferenza. Il terzo lato del triangolo è il segmento AB, chiamato C, che è precisamente la lunghezza della corda.
Occorre tracciare una retta perpendicolare alla corda C per bisecare l'angolo θ che esiste tra i due raggi e il cui vertice è il centro O della circonferenza. Questo è un angolo centrale - perché il suo vertice è il centro - e la bisettrice è anche una secante della circonferenza.
Immediatamente si formano due triangoli rettangoli, la cui ipotenusa misura R. Poiché la bisettrice, e con essa il diametro, divide la corda in due parti uguali, risulta che una delle gambe è la metà di C, come indicato in Figura 3b.
Dalla definizione del seno di un angolo:
sin (θ / 2) = gamba opposta / ipotenusa = (C / 2) / R
Così:
sin (θ / 2) = C / 2R
C = 2R sin (θ / 2)
Figura 3. Il triangolo formato da due raggi e una corda di circonferenza è isoscele (figura 3), poiché ha due lati uguali. La bisettrice lo divide in due triangoli rettangoli (Figura 3b). Fonte: preparato da F. Zapata.
Teorema delle stringhe
Il teorema delle stringhe funziona così:
La figura seguente mostra due accordi della stessa circonferenza: AB e CD, che si intersecano nel punto P. Nella corda AB sono definiti i segmenti AP e PB, mentre nell'accordo CD sono definiti CP e PD. Quindi, secondo il teorema:
AP. PB = CP. Post scriptum
Figura 4. Il teorema degli accordi di un cerchio. Fonte: F. Zapata.
Risolti esercizi di archi
- Esercizio 1
Un cerchio ha una corda di 48 cm, che è 7 cm dal centro. Calcola l'area del cerchio e il perimetro della circonferenza.
Soluzione
Per calcolare l'area del cerchio A è sufficiente conoscere il raggio della circonferenza al quadrato, poiché è vero:
A = π.R 2
Ora, la figura che si forma con i dati forniti è un triangolo rettangolo, le cui gambe sono rispettivamente di 7 e 24 cm.
Figura 5. Geometria per l'esercizio risolto 1. Fonte: F. Zapata.
Pertanto, per trovare il valore di R 2 , il teorema di Pitagora c 2 = a 2 + b 2 viene applicato direttamente , poiché R è l'ipotenusa del triangolo:
R 2 = (7 cm) 2 + (24 cm) 2 = 625 cm 2
Quindi l'area richiesta è:
A = π. 625 cm 2 = 1963,5 cm 2
Per quanto riguarda il perimetro o lunghezza L della circonferenza, viene calcolato da:
L = 2π. R
Valori sostitutivi:
R = √625 cm 2 = 25 cm
L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.
- Esercizio 2
Determina la lunghezza della corda di un cerchio la cui equazione è:
x 2 + y 2 - 6x - 14y -111 = 0
Le coordinate del punto medio dell'accordo sono note come P (17/2; 7/2).
Soluzione
Il punto medio della corda P non appartiene alla circonferenza, ma i punti finali della corda sì. Il problema può essere risolto utilizzando il teorema delle stringhe enunciato in precedenza, ma prima è conveniente scrivere l'equazione della circonferenza in forma canonica, per determinarne il raggio R e il suo centro O.
Passaggio 1: ottieni l'equazione canonica della circonferenza
L'equazione canonica del cerchio con centro (h, k) è:
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
Per ottenerlo, devi completare i quadrati:
(x 2 - 6x) + (y 2 - 14y) -111 = 0
Si noti che 6x = 2. (3x) e 14y = 2. (7y), in modo che l'espressione precedente venga riscritta in questo modo, rimanendo invariata:
(x 2 - 6x + 3 2 -3 2 ) + (y 2 - 14y + 7 2 -7 2 ) -111 = 0
E ora, ricordando la definizione di prodotto notevole (ab) 2 = a 2 - 2ab + b 2 puoi scrivere:
(x - 3) 2 - 3 2 + (y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 169
La circonferenza ha centro (3,7) e raggio R = √169 = 13. La figura seguente mostra il grafico della circonferenza e delle corde che verranno utilizzate nel teorema:
Figura 6. Grafico della circonferenza dell'esercizio risolto 2. Fonte: F. Zapata utilizzando la calcolatrice grafica online Mathway.
Passaggio 2: determinare i segmenti da utilizzare nel teorema delle stringhe
I segmenti da utilizzare sono le corde CD e AB, secondo la figura 6, entrambi sono tagliati nel punto P, quindi:
CP. PD = AP. PB
Ora troveremo la distanza tra i punti O e P, poiché questo ci darà la lunghezza del segmento OP. Se aggiungiamo il raggio a questa lunghezza, avremo il segmento CP.
La distanza d OP tra due punti di coordinate (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ) è:
d OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 = (3- 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = √170 / 2
Con tutti i risultati ottenuti, più il grafico, costruiamo il seguente elenco di segmenti (vedi figura 6):
CO = 13 cm = R
OP = √170 / 2 cm
CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm
PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm
AP = PB
2.AP = lunghezza della corda
Sostituendo nel teorema delle stringhe:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
La lunghezza della stringa è 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506
Il lettore potrebbe risolvere il problema in un altro modo?
Riferimenti
- Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- C-K12. Lunghezza di un accordo. Estratto da: ck12.org.
- Escobar, J. The Circumference. Estratto da: matematicas.udea.edu.co.
- Villena, M. Cónicas. Recupero da: dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. Corda (geometria). Estratto da: es.wikipedia.org.