I vettori liberi sono quelli che sono completamente specificati dalla sua grandezza, direzione e senso, senza che sia necessario indicare un punto di applicazione o un'origine particolare.
Poiché è possibile disegnare vettori infiniti in questo modo, un vettore libero non è una singola entità, ma un insieme di vettori paralleli e identici che sono indipendenti da dove si trovano.
Figura 1. Vari vettori liberi. Fonte: autocostruito.
Supponiamo di avere diversi vettori di magnitudine 3 diretti verticalmente verso l'alto, o di magnitudine 5 e inclinati a destra, come in Figura 1.
Nessuno di questi vettori viene applicato in modo specifico in qualsiasi punto. Quindi uno qualsiasi dei vettori blu o verdi è rappresentativo del rispettivo gruppo, poiché le loro caratteristiche - modulo, direzione e senso - non cambiano affatto quando vengono trasferiti in un altro punto del piano.
Un vettore libero è solitamente indicato nel testo stampato da una lettera minuscola in grassetto, ad esempio v. O con una lettera minuscola e una freccia sopra se si tratta di testo scritto a mano .
Il vantaggio che hanno i vettori liberi è che possono essere spostati attraverso il piano o nello spazio e mantenere le loro proprietà, poiché qualsiasi rappresentante dell'insieme è ugualmente valido.
Ecco perché in fisica e meccanica sono usati frequentemente. Ad esempio, per indicare la velocità lineare di un solido che sta traslando non è necessario scegliere un punto particolare sull'oggetto. Quindi il vettore velocità si comporta come un vettore libero.
Un altro esempio di vettore libero è la coppia di forze. Una coppia è composta da due forze di uguale grandezza e direzione, ma di direzioni opposte, applicate in punti diversi su un solido. L'effetto di una coppia non è quello di muovere l'oggetto, ma di provocare una rotazione grazie al momento prodotto.
La figura 2 mostra una coppia di forze applicate a un volante. Attraverso le forze F 1 e F 2 si crea la coppia che fa ruotare il volano attorno al proprio centro e in senso orario.
Figura 2. Un paio di forze applicate a un volante gli danno una svolta in senso orario. Fonte: Bielasko.
È possibile apportare alcune modifiche alla coppia e ottenere comunque lo stesso effetto di rotazione, ad esempio aumentando la forza, ma diminuendo la distanza tra loro. Oppure mantieni la forza e la distanza, ma applica la coppia su un altro paio di punti sul volante, ovvero ruota la coppia attorno al centro.
Il momento della coppia o semplicemente coppia, è un vettore il cui modulo è Fd ed è diretto perpendicolarmente al piano del volano. Nell'esempio mostrato per convenzione la rotazione oraria ha senso negativo.
Proprietà e caratteristiche
A differenza del vettore libero v, i vettori AB e CD sono fissi (vedi figura 3), poiché hanno un punto di partenza e un punto di arrivo specificati. Ma poiché sono indulgenti tra di loro e, a loro volta, con il vettore v , sono rappresentativi del vettore libero v .
Figura 3. Vettori liberi, vettori di lenti di squadra e vettori fissi. Fonte: autocostruito.
Le proprietà principali dei vettori liberi sono le seguenti:
-Qualsiasi vettore AB (vedi figura 2) è, come detto, rappresentativo del vettore libero v .
-Il modulo, la direzione e il senso sono gli stessi in ogni rappresentante del vettore libero. Nella figura 2, i vettori AB e CD rappresentano il vettore libera v e sono squadra lensing.
-Dato un punto P nello spazio, è sempre possibile trovare un rappresentante del vettore libero v la cui origine è in P e questo rappresentante è unico. Questa è la proprietà più importante dei vettori liberi e quella che li rende così versatili.
-Un vettore libero nullo è indicato come 0 ed è l'insieme di tutti i vettori privi di grandezza, direzione e senso.
-Se il vettore AB rappresenta il vettore libero v , il vettore BA rappresenta il vettore libero - v .
-La notazione V 3 sarà utilizzata per designare l'insieme di tutti i vettori liberi nello spazio e V 2 per designare tutti i vettori liberi nel piano.
Esercizi risolti
Con i vettori liberi è possibile eseguire le seguenti operazioni:
-Somma
-Sottrazione
-Moltiplicazione di scalare per un vettore
-Prodotto scalare tra due vettori.
-Prodotto incrociato tra due vettori
-Combinazione lineare di vettori
E altro ancora.
-Esercizio 1
Uno studente cerca di nuotare da un punto sulla riva di un fiume a un altro direttamente opposto. Per ottenere ciò, nuota direttamente ad una velocità di 6 km / h, in direzione perpendicolare, tuttavia la corrente ha una velocità di 4 km / h che la devia.
Calcola la velocità risultante del nuotatore e quanto viene deviato dalla corrente.
Soluzione
La velocità risultante del nuotatore è la somma vettoriale della sua velocità (rispetto al fiume, tracciata verticalmente verso l'alto) e della velocità del fiume (tracciata da sinistra a destra), che viene effettuata come indicato nella figura sottostante:
L'entità della velocità risultante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo mostrato, quindi:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
La direzione può essere calcolata dall'angolo rispetto alla perpendicolare alla riva:
α = arctg (4/6) = 33,7º o 56,3º rispetto alla riva.
Esercizio 2
Trova il momento della coppia di forze mostrata nella figura:
Soluzione
Il momento è calcolato da:
M = r x F
Le unità del momento sono lb-f.ft. Poiché la coppia si trova sul piano dello schermo, il momento è diretto perpendicolarmente ad esso, verso l'esterno o verso l'interno.
Poiché la coppia nell'esempio tende a ruotare in senso orario l'oggetto su cui è applicata (che non è mostrato in figura), questo momento è considerato puntato nello schermo e con segno negativo.
L'intensità del momento è M = Fdsen a, dove a è l'angolo tra la forza e il vettore r. Devi scegliere un punto rispetto al quale calcolare il momento, che è un vettore libero. Viene scelta l'origine del sistema di riferimento, quindi r va da O al punto di applicazione di ciascuna forza.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 libbre-f. piede
Il momento netto è la somma di M 1 e M 2 : -17329,5 lb-f. piede.
Riferimenti
- Beardon, T. 2011. Un'introduzione ai vettori. Estratto da: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
- Fisico. Modulo 8: vettori. Estratto da: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Meccanica per ingegneri. Statico 6a edizione. Continental Publishing Company. 15-53.
- Calcolatrice addizione vettoriale. Estratto da: 1728.org
- Vettori. Recupero da: en.wikibooks.org