VETTORE RISULTANTE: CALCOLO, ESEMPI, ESERCIZI - FISICO - 2025

Il vettore risultante è quello ottenuto da un'operazione con vettori il cui risultato è anche un vettore. Normalmente questa operazione è la somma di due o più vettori, per mezzo della quale si ottiene un vettore il cui effetto è equivalente.

In questo modo si ottengono vettori come la velocità, l'accelerazione o la forza risultanti. Ad esempio, quando più forze F ₁ , F ₂ , F ₃ ,… agiscono su un corpo . la somma vettoriale di tutte queste forze è uguale alla forza netta (la risultante), che è matematicamente espressa come segue:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R o F _N

Figura 1. Il peso della neve è distribuito sul tetto e la sua azione può essere sostituita da un'unica forza risultante applicata nel punto appropriato. Fonte: Pixabay.

Il vettore risultante, sia che si tratti di forze o di qualsiasi altra grandezza vettoriale, viene trovato applicando le regole dell'addizione del vettore. Poiché i vettori hanno direzione e senso oltre a un valore numerico, non è sufficiente aggiungere i moduli per ottenere il vettore risultante.

Questo è vero solo nel caso in cui i vettori coinvolti siano nella stessa direzione (vedi esempi). In caso contrario, è necessario utilizzare metodi di somma vettoriale, che a seconda dei casi possono essere geometrici o analitici.

Esempi

I metodi geometrici per trovare il vettore risultante sono il metodo della traversa e il metodo del parallelogramma.

Per quanto riguarda i metodi analitici, esiste il metodo dei componenti, con il quale si può trovare il vettore risultante da un qualsiasi sistema di vettori, a patto di avere le sue componenti cartesiane.

Metodi geometrici per aggiungere due vettori

Supponiamo che i vettori u e v (noi li denotano in grassetto per distinguerli dai scalari). Nella figura 2a) li abbiamo posizionati sull'aereo. Nella figura 2 b) è stato tradotto nel vettore v in modo tale che la sua origine coincida con la fine di u . Il vettore risultante va dall'origine del primo ( u ) alla punta dell'ultimo ( v ):

Figura 2. Il vettore risultante dalla somma grafica dei vettori. Fonte: autocostruito.

La figura risultante in questo caso è un triangolo (un triangolo è un poligono a 3 lati). Se abbiamo due vettori nella stessa direzione, la procedura è la stessa: posiziona uno dei vettori dopo l'altro e disegnane uno che va dall'origine o coda del primo alla punta o alla fine dell'ultimo.

Si noti che l'ordine in cui viene eseguita questa procedura non ha importanza, poiché la somma dei vettori è commutativa.

Si noti inoltre che in questo caso il modulo (la lunghezza o la dimensione) del vettore risultante è la somma dei moduli dei vettori aggiunti, a differenza del caso precedente, in cui il modulo del vettore risultante è inferiore alla somma dei vettori moduli partecipanti.

Metodo del parallelogramma

Questo metodo è molto appropriato quando è necessario aggiungere due vettori i cui punti di origine coincidono, diciamo, con l'origine di un sistema di coordinate xy. Supponiamo che questo è il caso per i nostri vettori u e v (figura 3a):

Figura 3. Somma di due vettori utilizzando il metodo del parallelogramma con il vettore risultante in blu turchese. Fonte: autocostruito.

In figura 3b) un parallelogramma è stato costruito con l'aiuto di linee tratteggiate parallela u e v . Il vettore risultante ha la sua origine in O e la sua estremità nel punto in cui le linee tratteggiate si intersecano. Questa procedura è completamente equivalente a quella descritta nella sezione precedente.

esercizi

-Esercizio 1

Dati i seguenti vettori, trova il vettore risultante utilizzando il metodo trasversale.

Figura 4. Vettori per trovare la loro risultante utilizzando il metodo poligonale. Esercizio 1. Fonte: elaborazione propria.

Soluzione

Il metodo traverse è il primo dei metodi visti. Ricorda che la somma dei vettori è commutativa (l'ordine degli addendi non altera la somma), quindi puoi iniziare con uno qualsiasi dei vettori, ad esempio u (figura 5a) o r (figura 5b):

Figura 5. Somma di vettori utilizzando il metodo poligonale. Fonte: autocostruito.

Cifra ottenuta è un poligono e il vettore risultante (in blu) è chiamato R . Se inizi con un altro vettore, la forma che si forma potrebbe essere diversa, come mostrato nell'esempio, ma il vettore risultante è lo stesso.

Esercizio 2

Nella figura seguente sappiamo che i moduli dei vettori u e v sono rispettivamente u = 3 unità arbitrarie ev = 1,8 unità arbitrarie. L'angolo che u fa con l'asse x positivo è di 45º, mentre v fa 60º con l'asse y, come si vede nella figura. Trova il vettore, l'ampiezza e la direzione risultanti.

Soluzione

Nella sezione precedente il vettore risultante è stato trovato applicando il metodo del parallelogramma (in turchese nella figura).

Un modo semplice per trovare analiticamente il vettore risultante è esprimere i vettori addendi in termini di componenti cartesiane, che è un compito facile quando il modulo e l'angolo sono noti, come i vettori in questo esempio:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1.8 x sin 60º = 1.56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

I vettori u e v sono vettori appartenenti al piano, avendo così due componenti ciascuno. Il vettore u è nel primo quadrante e le sue componenti sono positive, mentre il vettore v è nel quarto quadrante; la sua componente x è positiva, ma la sua proiezione sull'asse verticale cade sull'asse y negativo.

Calcolo delle componenti cartesiane del vettore risultante

Il vettore risultante si trova aggiungendo algebricamente le rispettive componenti xey, per ottenere le loro componenti cartesiane:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Una volta specificate le componenti cartesiane, il vettore è completamente noto. Il vettore risultante può essere espresso con la notazione tra parentesi:

R = <3,68; 1.22> unità arbitrarie

La notazione tra parentesi viene utilizzata per distinguere un vettore da un punto nel piano (o nello spazio). Un altro modo per esprimere analiticamente il vettore risultante è usare i vettori unitari i e j nel piano ( i , j e k nello spazio):

R = 3,68 i + 1,22 j unità arbitrarie

Poiché entrambe le componenti del vettore risultante sono positive, il vettore R appartiene al primo quadrante, che è già stato visto graficamente in precedenza.

Magnitudine e direzione del vettore risultante

Conoscendo le componenti cartesiane, la grandezza di R viene calcolato attraverso il teorema di Pitagora, poiché il vettore risultante R , insieme con i suoi componenti R _x e R _e formano un triangolo rettangolo:

Magnitudine o modulo: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Direzione q prendendo come riferimento l'asse x positivo: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º

Riferimenti

1. Aggiunta di vettori e regole. Estratto da: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
3. Fisico. Modulo 8: vettori. Estratto da: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Meccanica per ingegneri. Statico 6a edizione. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Calcolatrice addizione vettoriale. Estratto da: www.1728.org