TEORIA DELLE CODE: STORIA, MODELLO, A COSA SERVE ED ESEMPI - MATEMATICA - 2025

La teoria delle code è la branca della matematica che studia i fenomeni e i comportamenti nelle file d'attesa. Vengono definiti quando un utente che richiede un determinato servizio decide di attendere che il server venga elaborato.

Studia gli elementi che sono presenti nelle linee d'attesa di qualsiasi tipo, siano essi elementi umani, oppure elaborazioni o operazioni di dati. Le sue conclusioni sono di costante applicazione nelle linee di produzione, registrazione e lavorazione.

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I suoi valori servono nella parametrizzazione dei processi prima della loro implementazione, fungendo da elemento organizzativo chiave per la corretta gestione della pianificazione.

Storia

Il principale responsabile del suo sviluppo è stato il matematico di origine danese Agner Kramp Erlang, che ha lavorato presso la società di telecomunicazioni di Copenhagen Telephone Exchange.

Agner ha notato le crescenti esigenze emergenti nel sistema di fornitura di servizi telefonici dell'azienda. Ecco perché è iniziato lo studio dei fenomeni matematici che potevano essere quantificati nel sistema di attesa.

La sua prima pubblicazione ufficiale fu un articolo intitolato Queuing Theory, pubblicato nel 1909. La sua attenzione era principalmente rivolta al problema del dimensionamento delle linee e dei centri di commutazione telefonica per il servizio di chiamata.

Modello ed elementi

Esistono diversi modelli di code in cui alcuni aspetti sono responsabili della definizione e della caratterizzazione di ciascuno di essi. Prima di definire i modelli, vengono presentati gli elementi che compongono ogni modello di coda.

-Elementi

Fonte di ingresso o potenziale popolazione

È l'insieme dei possibili candidati al servizio. Questo vale per qualsiasi tipo di variabile, dagli utenti umani ai set di pacchetti di dati. Sono classificati in finiti e infiniti a seconda della natura dell'insieme.

La coda

Si riferisce all'insieme di elementi che fanno già parte del sistema di servizi. Che hanno già accettato di attendere la disponibilità dell'operatore. Sono in uno stato di attesa per le risoluzioni del sistema.

-Il sistema di coda

È costituito dalla triade formata dalla coda, dal meccanismo di servizio e dalla disciplina della coda. Dà struttura al protocollo di sistema, governando i criteri di selezione per gli elementi in coda.

- Meccanismo di servizio

È il processo mediante il quale il servizio viene fornito a ciascun utente.

-Cliente

È qualsiasi elemento appartenente alla potenziale popolazione che richiede un servizio. È importante conoscere il tasso di ingresso dei clienti, nonché la probabilità che la fonte ha di generarli.

-Queue capacità

Si riferisce alla capacità massima di articoli che possono essere in attesa di essere serviti. Può essere considerato finito o infinito, essendo nella maggior parte dei casi infinito per criteri di praticità.

-Disciplina della coda

È il protocollo in base al quale viene determinato l'ordine in cui viene servito il cliente. Serve come canale di elaborazione e ordine per gli utenti, essendo responsabile della loro disposizione e spostamento all'interno della coda. Secondo i tuoi criteri, può essere di diversi tipi.

- FIFO: dall'acronimo in inglese First in first out, noto anche come FCFS, primo arrivato, primo servito. Il che significa, rispettivamente, Primo arrivato primo eliminato e Primo arrivato primo ad essere servito. Entrambe le forme indicano che il primo cliente ad arrivare sarà il primo ad essere servito.

- LIFO: Last in first out noto anche come stack o LCFS last come first serve. Dove viene servito per primo il cliente arrivato per ultimo.

- RSS: selezione casuale del servizio chiamato anche servizio SIRO in ordine casuale, in cui i clienti vengono selezionati in base a criteri casuali o casuali.

Modelli

Ci sono 3 aspetti che governano il modello di accodamento da considerare. Questi sono i seguenti:

- Distribuzione del tempo tra gli arrivi: si riferisce alla velocità con cui le unità vengono aggiunte alla coda. Sono valori funzionali e sono soggetti a variabili diverse a seconda della loro natura.

- Distribuzione del tempo di servizio: tempo utilizzato dal server per elaborare il servizio richiesto dal cliente. Varia in base al numero di operazioni o procedure stabilite.

Questi 2 aspetti possono assumere i seguenti valori:

M: distribuzione esponenziale esponenziale (Markoviana).

D: Distribuzione degenerata (tempi costanti).

E _k : distribuzione di Erlang con parametro di forma k.

G: Distribuzione generale (qualsiasi distribuzione).

- Numero di server: porte di servizio aperte e disponibili per l'elaborazione dei client. Sono essenziali nella definizione strutturale di ogni modello di accodamento.

In questo modo si definiscono i modelli di accodamento prendendo prima le iniziali in maiuscolo della distribuzione dell'ora di arrivo e della distribuzione dell'ora di servizio. Infine, viene studiato il numero di server.

Un esempio abbastanza comune è MM 1, che si riferisce a un tipo esponenziale di distribuzione del tempo di arrivo e di servizio, mentre si lavora con un singolo server.

Altri tipi di modelli di coda sono MM s, MG 1, ME 1, DM 1, tra gli altri.

Tipi di sistemi di accodamento

Esistono diversi tipi di sistemi di accodamento in cui più variabili fungono da indicatori del tipo di sistema presentato. Ma fondamentalmente è governato dal numero di code e dal numero di server. Vale anche la struttura lineare a cui è sottoposto l'utente per ottenere il servizio.

- Una coda e un server. È la solita struttura, dove l'utente attraverso il sistema di arrivo entra in coda, dove dopo aver completato la sua attesa secondo la disciplina della coda, viene processato dall'unico server.

- Una coda e più server. L'utente, al termine del suo tempo di attesa, può recarsi su server diversi che possono essere esecutori degli stessi processi, così come possono essere privati ​​per procedure diverse.

- Più code e più server. La struttura può essere suddivisa per diversi processi o fungere da ampio canale per coprire un'elevata domanda di servizio comune.

- Una coda con server sequenziali. Gli utenti attraversano diverse fasi. Entrano e prendono posto in coda, e quando vengono serviti dal primo server, passano a una nuova fase che richiede adempimenti precedenti effettuati nel primo servizio.

Terminologia

- λ: Questo simbolo (Lambda) rappresenta nella teoria delle code il valore atteso degli input per intervallo di tempo.

- 1 / λ: Corrisponde al valore atteso tra gli orari di arrivo di ogni utente che entra nel sistema.

- μ: Il simbolo Mu corrisponde al numero previsto di client che completano il servizio per unità di tempo. Questo vale per ogni server.

- 1 / μ: tempo di servizio previsto dal sistema.

- ρ: Il simbolo Rho denota il fattore di utilizzo del server. Viene utilizzato per misurare quanto tempo il server sarà occupato a elaborare gli utenti.

ρ = λ / sμ

Se p> 1, il sistema sarà transitorio, tenderà a crescere, perché il tasso di utilità del server è inferiore al numero di utenti che accedono al sistema.

Se p <1 il sistema rimarrà stabile.

A cosa serve la teoria

Nasce per ottimizzare i processi di erogazione del servizio telefonico. Ciò demarca un'utilità rispetto ai fenomeni delle code d'attesa, dove si cerca di ridurre i valori di tempo e annullare ogni tipo di rielaborazione o processo ridondante che rallenti il ​​processo di utenti e operatori.

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A livelli più complessi, in cui le variabili di input e di servizio assumono valori misti, i calcoli eseguiti al di fuori della teoria delle code sono quasi impensabili. Le formule fornite dalla teoria hanno aperto il calcolo avanzato all'interno di questo ramo.

Elementi presenti nelle formule

- Pn: valore riferito alla probabilità che “n” unità siano all'interno del sistema.

- Lq: lunghezza della coda o valore medio degli utenti in essa contenuti.

- Ls: media delle unità nel sistema.

- Wq: tasso medio di attesa in coda.

- Ws: tasso medio di attesa nel sistema.

- _λ: numero medio di client che accedono al servizio.

- Ws (t): valore riferito alla probabilità che un cliente rimanga nel sistema più di “t” unità.

- Wq (t): valore riferito alla probabilità che un cliente rimanga in coda più di “t” unità.

Esempi

Un registro ha un unico server per elaborare i passaporti degli utenti che vengono. Una media di 35 utenti l'ora frequentano il registro. Il server ha la capacità di servire 45 utenti all'ora. È noto in precedenza che gli utenti trascorrono in media 5 minuti in coda.

Vuoi sapere:

1. Tempo medio che ogni utente trascorre nel sistema
2. Numero medio di clienti in coda

Abbiamo λ = 35/45 Clienti / minuti

μ = 45/60 client / minuti

Wq = 5 minuti

Parte A

Il tempo medio nel sistema può essere calcolato con Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minuti + 1,33 = 6,33 minuti

In questo modo viene definito il tempo totale che l'utente rimarrà nel sistema, dove 5 minuti saranno in coda e 1,33 minuti con il server.

Parte b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 client minuti) x (5 minuti) = 3,89 client

Possono esserci più di 3 client nella coda contemporaneamente.

Riferimenti

1. Gestione delle operazioni. Editoriale Vértice, 16 aprile. 2007
2. Teoria delle code o fila d'attesa. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. La teoria dei sistemi ha risolto i problemi. Roberto Sanchis Llopis. Pubblicazioni dell'Universitat Jaume I, 2002
4. Metodi quantitativi di organizzazione industriale II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. dalla Catalunya, 2009
5. Teoria dell'inventario e sua applicazione. Editoriale Pax-México, 1967