TRAIETTORIA IN FISICA: CARATTERISTICHE, TIPOLOGIE, ESEMPI ED ESERCIZI - FISICO - 2025

La traiettoria in fisica è la curva che un cellulare descrive mentre attraversa punti successivi durante il suo movimento. Poiché può richiedere molte varianti, lo saranno anche le traiettorie che il cellulare può seguire.

Per spostarsi da un luogo all'altro, una persona può percorrere strade e modi differenti: a piedi attraverso i marciapiedi di strade e viali, oppure arrivando in macchina o in moto su un'autostrada. Durante una passeggiata nel bosco, l'escursionista può seguire un percorso complicato che comprende curve, salite o discese di livello e anche passando più volte nello stesso punto.

Figura 1. Unendo i punti finali di ogni vettore di posizione si ottiene il percorso seguito dalla particella. Fonte: Algarabia

Se i punti attraverso i quali il mobile sta viaggiando seguono una linea retta, la traiettoria sarà rettilinea. Questo è il percorso più semplice, poiché è unidimensionale. La specifica della posizione richiede una singola coordinata.

Ma il cellulare può seguire un percorso curvilineo, potendo essere chiuso o aperto. In questi casi, il tracciamento della posizione richiede due o tre coordinate. Questi sono rispettivamente movimenti nell'aereo e nello spazio. Ciò ha a che fare con i collegamenti: limitare le condizioni materiali di movimento. Alcuni esempi sono:

- Le orbite che descrivono i pianeti attorno al sole sono percorsi chiusi a forma di ellisse. Sebbene, in alcuni casi, possano essere approssimati a una circolare, come nel caso della Terra.

- La palla che il portiere calcia in un rinvio segue una traiettoria parabolica.

- Un uccello in volo descrive traiettorie curvilinee nello spazio, perché oltre a muoversi su un aereo, può salire o scendere di livello a piacimento.

La traiettoria in fisica può essere espressa matematicamente quando la posizione del cellulare è nota in qualsiasi istante di tempo. Sia r il vettore di posizione, che a sua volta ha coordinate x, yez nel caso più generale di un movimento tridimensionale. Conoscendo la funzione r (t) la traiettoria sarà completamente determinata.

tipi

In termini generali, la traiettoria può essere una curva piuttosto complicata, soprattutto se si vuole esprimerla matematicamente. Per questo inizia con i modelli più semplici, dove i cellulari viaggiano in linea retta o su un piano, che può essere il pavimento o qualsiasi altro adatto:

Movimenti in una, due e tre dimensioni

Le traiettorie più studiate sono:

- Rettilineo , quando si viaggia su una linea retta orizzontale, verticale o inclinata. Una palla lanciata verticalmente verso l'alto segue questo percorso o segue un oggetto che scivola giù per un pendio. Sono movimenti unidimensionali, una singola coordinata è sufficiente per determinare completamente la loro posizione.

- Parabolico , in cui il cellulare descrive un arco di parabola. È frequente, poiché qualsiasi oggetto lanciato obliquamente sotto l'azione della gravità (un proiettile) segue questa traiettoria. Per specificare la posizione del mobile devi fornire due coordinate: x e y.

- Circolare , si verifica quando la particella in movimento segue un cerchio. È anche comune in natura e nella pratica quotidiana. Molti oggetti di uso quotidiano seguono un percorso circolare come pneumatici, parti di macchinari e satelliti orbitanti, per fornire alcuni esempi.

- Ellittica , l'oggetto si sposta seguendo un'ellisse. Come detto all'inizio, è il percorso seguito dai pianeti in orbita attorno al sole.

- Gli oggetti iperbolici , astronomici sotto l'azione di una forza centrale (gravità), possono seguire traiettorie ellittiche (chiuse) o iperboliche (aperte), essendo queste meno frequenti delle prime.

- Movimento elicoidale , o spirale, come quello di un uccello che ascende in una corrente termica.

- Sway o pendolo , il cellulare descrive un arco nei movimenti avanti e indietro.

Esempi

Le traiettorie descritte nella sezione precedente sono molto utili per avere un'idea veloce di come si muove un oggetto. In ogni caso, è necessario chiarire che la traiettoria di un cellulare dipende dalla posizione dell'osservatore. Ciò significa che lo stesso evento può essere visto in modi diversi, a seconda di dove si trova ogni persona.

Ad esempio, una ragazza pedala a velocità costante e lancia una palla verso l'alto. Osserva che la palla descrive un percorso rettilineo.

Tuttavia, per un osservatore in piedi sulla strada che lo vede passare, la palla avrà un movimento parabolico. Per lui, la palla è stata inizialmente lanciata con una velocità inclinata, risultato della velocità verso l'alto dalla mano della ragazza più la velocità della bicicletta.

Figura 2. Questa animazione mostra il lancio verticale di una palla effettuato da una ragazza in bicicletta, come lo vede (traiettoria rettilinea) e come lo vede un osservatore (traiettoria parabolica). (Preparato da F. Zapata).

Percorso di un mobile in modo esplicito, implicito e parametrico

- Esplicito , specificando direttamente la curva o il luogo dato dall'equazione y (x)

- Implicito , in cui una curva è espressa come f (x, y, z) = 0

- Parametrica , in questo modo le coordinate x, yez sono date in funzione di un parametro che, in generale, è scelto come tempo t. In questo caso, la traiettoria è composta dalle funzioni: x (t), y (t) e z (t).

Successivamente, vengono descritte due traiettorie che sono state ampiamente studiate in cinematica: la traiettoria parabolica e la traiettoria circolare.

Lancio inclinato nel vuoto

Un oggetto (proiettile) viene generata ad un angolo con l'orizzontale e con velocità iniziale v _o come mostrato in figura. La resistenza dell'aria non viene presa in considerazione. Il movimento può essere trattato come due movimenti indipendenti e simultanei: uno orizzontale a velocità costante e l'altro verticale sotto l'azione della gravità.

Queste equazioni sono le equazioni parametriche del lancio del proiettile. Come spiegato sopra, hanno un parametro comune t, che è il tempo.

Quanto segue può essere visto nel triangolo rettangolo nella figura:

Figura 3. Traiettoria parabolica seguita da un proiettile, in cui sono mostrate le componenti del vettore velocità. H è l'altezza massima e R è la portata orizzontale massima. Fonte: Ayush12gupta

Sostituendo queste equazioni contenenti l'angolo di lancio nei risultati delle equazioni parametriche:

Equazione del percorso parabolico

L'equazione esplicita del cammino si trova risolvendo t dall'equazione per x (t) e sostituendo nell'equazione y (t). Per facilitare il lavoro algebrico, si può supporre che l'origine (0,0) si trovi nel punto di lancio e quindi x _o = y _o = 0.

Questa è l'equazione del percorso in forma esplicita.

Percorso circolare

Un percorso circolare è dato da:

Figura 4. Una particella si muove lungo un percorso circolare sul piano. Fonte: modificato da F. Zapata da Wikimedia Commons.

Qui x _o yy _o rappresentano il centro della circonferenza descritta dal cellulare e R è il suo raggio. P (x, y) è un punto sul percorso. Dal triangolo rettangolo ombreggiato (figura 3) si può vedere che:

Il parametro, in questo caso, è l'angolo di sweep θ, chiamato spostamento angolare. Nel caso particolare che la velocità angolare ω (angolo spazzato per unità di tempo) sia costante, si può affermare che:

Dove θ _o è la posizione angolare iniziale della particella, che se presa come 0, si riduce a:

In tal caso, il tempo ritorna alle equazioni parametriche come:

I vettori unitari i e j sono molto convenienti per scrivere la funzione di posizione di un oggetto r (t). Indicano le direzioni rispettivamente sull'asse xe sull'asse y. Nei suoi termini, la posizione di una particella che descrive un moto circolare uniforme è:

r (t) = R.cos ω t io + R. sin ω t j

Esercizi risolti

Risolto esercizio 1

Un cannone può sparare un proiettile con una velocità di 200 m / se un angolo di 40 ° rispetto all'orizzontale. Se il lancio è su terreno pianeggiante e la resistenza dell'aria è trascurata, trova:

a) L'equazione del cammino y (x) ..

b) Le equazioni parametriche x (t) e y (t).

c) La distanza orizzontale e il tempo di permanenza del proiettile nell'aria.

d) L'altezza alla quale si trova il proiettile quando x = 12.000 m

Soluzione a)

a) Per trovare la traiettoria si sostituiscono i valori dati dall'equazione y (x) della sezione precedente:

Soluzione b)

b) Il punto di lancio è scelto all'origine del sistema di coordinate (0,0):

Soluzione c)

c) Per trovare il tempo di durata del proiettile in aria, sia y (t) = 0, dove il lancio viene effettuato in piano:

La portata orizzontale massima si trova sostituendo questo valore in x (t):

Un altro modo per trovare x _max direttamente è impostando y = 0 nell'equazione del percorso:

C'è una piccola differenza dovuta all'arrotondamento dei decimali.

Soluzione d)

d) Per trovare l'altezza quando x = 12000 m, questo valore viene sostituito direttamente nell'equazione del percorso:

Esercizio risolto 2

La funzione di posizione di un oggetto è data da:

r (t) = 3t io + (4-5t ² ) j m

Trova:

a) L'equazione per il percorso. Che curva è?

b) La posizione iniziale e la posizione quando t = 2 s.

c) Lo spostamento effettuato dopo t = 2 s.

Soluzione

a) La funzione di posizione è stata data in termini di vettori unitari i e j , che determinano rispettivamente la direzione negli assi xey, quindi:

L'equazione del cammino y (x) si trova risolvendo t da x (t) e sostituendo in y (t):

b) La posizione iniziale è: r (2) = 4 j m; la posizione at = 2 s è r (2) = 6 i -16 j m

c) Lo spostamento D r è la sottrazione dei due vettori di posizione:

Esercizio risolto 3

La Terra ha un raggio R = 6300 km ed è noto che il periodo di rotazione del suo movimento attorno al proprio asse è di un giorno. Trova:

a) L'equazione della traiettoria di un punto sulla superficie terrestre e la sua funzione di posizione.

b) La velocità e l'accelerazione di quel punto.

Soluzione a)

a) La funzione di posizione per qualsiasi punto in orbita circolare è:

r (t) = R.cos ω t io + R. sin ω t j

Abbiamo il raggio della Terra R, ma non la velocità angolare ω, tuttavia si può calcolare dal periodo, sapendo che per moto circolare vale dire che:

Il periodo del movimento è: 1 giorno = 24 ore = 1440 minuti = 86.400 secondi, quindi:

Sostituendo nella funzione di posizione:

r (t) = R.cos ω t io + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j ) Km

Il percorso in forma parametrica è:

Soluzione b)

b) Per il movimento circolare, l'ampiezza della velocità lineare v di un punto è correlata alla velocità angolare w da:

Pur essendo un movimento a velocità costante di 145,8 m / s, si ha un'accelerazione che punta verso il centro dell'orbita circolare, incaricata di mantenere il punto in rotazione. È l'accelerazione centripeta in _c , data da:

Riferimenti

1. Giancoli, D. Physics. (2006). Principi con applicazioni. 6 ^° Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fisica: uno sguardo al mondo. 6 ^ta Modifica abbreviata. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fisico. Volume 1. Terza edizione in spagnolo. Messico. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fondamenti di fisica. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Fisica universitaria con fisica moderna. 14 ^th . Ed. Volume1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 ^ma . Edizione. Messico. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fondamenti di fisica. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fisica 10. Pearson Education. 133-149.