TRAPEZIO ISOSCELE: PROPRIETÀ, RELAZIONI E FORMULE, ESEMPI - MATEMATICA - 2025

Un trapezio isoscele è un quadrilatero in cui due dei lati sono paralleli tra loro e inoltre, i due angoli adiacenti a uno di quei lati paralleli hanno la stessa misura.

Nella figura 1 abbiamo il quadrilatero ABCD, in cui i lati AD e BC sono paralleli. Inoltre, gli angoli ∠DAB e ∠ADC adiacenti al lato parallelo AD hanno la stessa misura α.

Figura 1. Trapezio isoscele. Fonte: F. Zapata.

Quindi questo quadrilatero, o poligono quadrilatero, è in effetti un trapezio isoscele.

In un trapezio, i lati paralleli sono chiamati basi e i lati non paralleli sono chiamati laterali. Un'altra caratteristica importante è l'altezza, che è la distanza che separa i lati paralleli.

Oltre al trapezio isoscele ci sono altri tipi di trapezio:

-T rapezoid scalene, che ha tutti i suoi angoli e lati diversi.

-Rapezoide rettangolare, in cui un lato ha angoli retti adiacenti.

La forma trapezoidale è comune in vari campi del design, architettura, elettronica, calcolo e molti altri, come vedremo più avanti. Da qui l'importanza di familiarizzare con le sue proprietà.

Proprietà

Esclusivo per il trapezio isoscele

Se un trapezio è isoscele, ha le seguenti proprietà caratteristiche:

1.- I lati hanno la stessa misura.

2.- Gli angoli adiacenti alle basi sono uguali.

3.- Gli angoli opposti sono supplementari.

4.- Le diagonali hanno la stessa lunghezza, essendo uguali i due segmenti che uniscono i vertici opposti.

5.- L'angolo formato tra le basi e le diagonali sono tutti della stessa misura.

6.- Ha una circonferenza circoscritta.

Al contrario, se un trapezio soddisfa una delle proprietà di cui sopra, allora è un trapezio isoscele.

Se in un trapezio isoscele uno degli angoli è retto (90º), anche tutti gli altri angoli saranno retti, formando un rettangolo. Cioè, un rettangolo è un caso particolare di un trapezio isoscele.

Figura 2. Il contenitore dei popcorn e i tavoli della scuola hanno la forma di un trapezio isoscele. Fonte: Pxfuel (a sinistra) / McDowell Craig tramite Flickr. (giusto)

Per tutti i trapezi

Il seguente insieme di proprietà è valido per qualsiasi trapezio:

7.- La mediana del trapezio, cioè il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati non paralleli, è parallela a una qualsiasi delle basi.

8.- La lunghezza della mediana è uguale al semisum (somma divisa per 2) di quella delle sue basi.

9.- La mediana di un trapezio taglia le sue diagonali nel punto medio.

10.- Le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto che le divide in due sezioni proporzionali ai quozienti delle basi.

11.- La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati più il doppio prodotto delle sue basi.

12.- Il segmento che unisce i punti medi delle diagonali ha una lunghezza pari alla semidifferenza delle basi.

13.- Gli angoli adiacenti ai lati sono supplementari.

14.- Un trapezio ha una circonferenza inscritta se e solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.

15.- Se un trapezio ha una circonferenza inscritta, gli angoli con un vertice al centro di detta circonferenza e i lati che passano per le estremità dello stesso lato sono angoli retti.

Relazioni e formule

Il seguente insieme di relazioni e formule è riferito alla figura 3, dove oltre al trapezio isoscele sono mostrati altri importanti segmenti già citati, come diagonali, altezza e mediana.

Figura 3. Mediana, diagonale, altezza e circonferenza circoscritta in un trapezio isoscele. Fonte: F. Zapata.

Rapporti unici del trapezio isoscele

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA e ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º e ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C e D appartengono al cerchio circoscritto.

Rapporti per qualsiasi trapezio

1. Se AK = KB e DL = LC ⇒ KL - AD e KL - BC

8.- KL = (d.C. + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 e DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC e DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (d.C. - a.C.) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º e ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Se AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R che equidistante da AD, BC, AB e DC

15.- Se ∃ R equidistante da AD, BC, AB e DC, allora:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relazioni per trapezio isoscele con circonferenza inscritta

Se in un trapezio isoscele la somma delle basi è uguale a due volte quella laterale, allora esiste il cerchio inscritto.

Figura 4. Trapezio con circonferenza inscritta. Fonte: F. Zapata.

Le seguenti proprietà si applicano quando il trapezio isoscele ha una circonferenza inscritta (vedere la figura 4 sopra):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Le diagonali si intersecano ad angolo retto: AC ⊥ BD

18.- L'altezza misura la stessa della mediana: HF = KL, cioè h = m.

19.- Il quadrato dell'altezza è uguale al prodotto delle basi: h ² = BC⋅AD

20.- In queste condizioni specifiche, l'area del trapezio è uguale al quadrato dell'altezza o al prodotto delle basi: Area = h ² = BC⋅AD.

Formule per determinare un lato, conoscere gli altri e un angolo

Conoscendo una base, il laterale e un angolo, l'altra base può essere determinata da:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Se la lunghezza delle basi e un angolo sono indicati come dati noti, le lunghezze di entrambi i lati sono:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Determinazione di un lato, conoscendo gli altri e una diagonale

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Dove d ₁ è la lunghezza delle diagonali.

Base da altezza, area e altra base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Basi laterali note, area e angolo

c = (2A) /

Mediana laterale, area e angolo noti

c = A / (m sin α)

Altezza nota ai lati

h = √

Altezza nota un angolo e due lati

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Noto diagonali tutti i lati, o due lati e un angolo

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - ac 2 Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perimetro del triangolo isoscele

P = a + b + 2c

Area del trapezio isoscele

Esistono diverse formule per il calcolo dell'area, a seconda dei dati noti. Il seguente è il più noto, a seconda delle basi e dell'altezza:

A = h⋅ (a + b) / 2

E puoi anche usare questi altri:

-Se i lati sono noti

A = √

-Quando hai due lati e un angolo

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Se si conosce il raggio del cerchio inscritto e un angolo

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Quando sono note le basi e un angolo

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Se il trapezio può essere inscritto una circonferenza

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Conosci le diagonali e l'angolo che formano tra loro

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (D ₁ ² /2) Æ Sen

-Quando hai il laterale, il mediano e un angolo

A = mc.sen α = mc.sen β

Raggio del cerchio circoscritto

Solo i trapezi isosceli hanno una circonferenza circoscritta. Se _{si conoscono} la base maggiore a, il laterale ce la diagonale d ₁ , allora il raggio R del cerchio che passa per i quattro vertici del trapezio è:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Dove p = (a + c + d ₁ ) / 2

Esempi di utilizzo del trapezio isoscele

Il trapezio isoscele appare nel campo del design, come mostrato nella Figura 2. E qui ci sono alcuni esempi aggiuntivi:

In architettura e costruzione

Gli antichi Incas conoscevano il trapezio isoscele e lo usavano come elemento da costruzione in questa finestra a Cuzco, in Perù:

Figura 5. Finestra trapezoidale del Coricancha, Cuzco. Fonte: Wikimedia Commons.

E qui il trapezio compare di nuovo nella cosiddetta lamiera trapezoidale, materiale frequentemente utilizzato in edilizia:

Figura 6. Lamiera trapezoidale che protegge temporaneamente le finestre di un edificio. Fonte: Wikimedia Commons.

Nel design

Abbiamo già visto che il trapezio isoscele appare negli oggetti di uso quotidiano, inclusi cibi come questa barretta di cioccolato:

Figura 7. Barretta di cioccolato le cui facce hanno la forma di un trapezio isoscele. Fonte: Pxfuel.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Un trapezio isoscele ha una base maggiore di 9 cm, una base inferiore a 3 cm e le sue diagonali 8 cm ciascuna. Calcolare:

a parte

b) Altezza

c) Perimetro

d) Area

Figura 8. Schema dell'esercizio 1. Fonte: F. Zapata

Soluzione a

Viene tracciata l'altezza CP = h, dove il piede dell'altezza definisce i segmenti:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Usando il teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

E anche al triangolo rettangolo APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Infine, membro per membro viene sottratto, la seconda equazione dalla prima e semplificata:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Soluzione b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Soluzione c

Perimetro = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Soluzione d

Area = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Esercizio 2

C'è un trapezio isoscele la cui base più grande è il doppio di quella più piccola e la sua base più piccola è uguale all'altezza, che è di 6 cm. Decidere:

a) La lunghezza del laterale

b) Perimetro

c) Area

d) Angoli

Figura 8. Schema dell'esercizio 2. Fonte: F. Zapata

Soluzione a

Dati: a = 12, b = a / 2 = 6 eh = b = 6

Procediamo in questo modo: disegniamo l'altezza he applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo dell'ipotenusa «c» e alle gambe he x:

c ² = h ² + xc ²

Quindi devi calcolare il valore dell'altezza dai dati (h = b) e quello della gamba x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Sostituendo le espressioni precedenti abbiamo:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Ora vengono introdotti i valori numerici e si semplifica:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Ottenere:

c = 3√5 = 6,71 cm

Soluzione b

Il perimetro P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Soluzione c

L'area in funzione dell'altezza e della lunghezza delle basi è:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Soluzione d

L'angolo α che il laterale forma con la base maggiore si ottiene per trigonometria:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

L'altro angolo, quello che forma il laterale con la base più piccola è β, che è supplementare ad α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Riferimenti

1. EA 2003. Elementi di geometria: con esercizi e geometria del compasso. Università di Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematica 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Discover Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. IGER. Matematica Primo semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. 2014. Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. 2006. Matematica: ragionamento e applicazioni. 10 °. Edizione. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Matematica 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapezio. Estratto da: es.wikipedia.com