TEOREMA DI BOLZANO: SPIEGAZIONE, APPLICAZIONI ED ESERCIZI - MATEMATICA - 2025

Il teorema di Bolzano afferma che se una funzione è continua in ogni punto di un intervallo chiuso ed è soddisfatto che l'immagine di "a" e "b" (sotto la funzione) abbiano segni opposti, allora ci sarà almeno un punto " c "nell'intervallo aperto (a, b), in modo tale che la funzione valutata in" c "sarà uguale a 0.

Questo teorema fu enunciato dal filosofo, teologo e matematico Bernard Bolzano nel 1850. Questo scienziato, nato nell'attuale Repubblica Ceca, fu uno dei primi matematici della storia a fornire una prova formale delle proprietà delle funzioni continue.

Spiegazione

Il teorema di Bolzano è anche noto come teorema dei valori intermedi, che aiuta a determinare valori specifici, in particolare zeri, di alcune funzioni reali di una variabile reale.

In una data funzione f (x) continua, cioè che f (a) e f (b) sono collegati da una curva, dove f (a) è sotto l'asse x (è negativo) e f (b) per sopra l'asse x (è positivo), o viceversa, graficamente ci sarà un punto di taglio sull'asse x che rappresenterà un valore intermedio «c», che sarà compreso tra «a» e «b», e il valore di f (c) sarà uguale a 0.

Analizzando graficamente il teorema di Bolzano, si può vedere che per ogni funzione continua f definita su un intervallo, dove f (a) _* f (b) è minore di 0, ci sarà almeno una radice «c» di quella funzione all'interno dell'intervallo (a, b).

Questo teorema non stabilisce il numero di punti in quell'intervallo aperto, afferma solo che c'è almeno 1 punto.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema di Bolzano, si assume senza perdita di generalità che f (a) <0 e f (b)> 0; quindi, ci possono essere molti valori tra "a" e "b" per i quali f (x) = 0, ma solo uno deve essere mostrato.

Iniziamo valutando f al punto medio (a + b) / 2. Se f ((a + b) / 2) = 0 allora la dimostrazione finisce qui; altrimenti, allora f ((a + b) / 2) è positivo o negativo.

Viene scelta una delle metà dell'intervallo, in modo tale che i segni della funzione valutati agli estremi siano diversi. Questo nuovo intervallo sarà.

Ora, se f valutato al centro di non è zero, viene eseguita la stessa operazione di prima; cioè, viene scelta una metà di questo intervallo che soddisfa la condizione dei segni. Sia questo il nuovo intervallo.

Se continui con questo processo, avrai due sequenze {an} e {bn}, tali che:

{an} sta aumentando e {bn} sta diminuendo:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Se calcoli la lunghezza di ogni intervallo, dovrai:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Pertanto, il limite per n che si avvicina all'infinito di (bn-an) è uguale a 0.

Usando che {an} è crescente e limitato e {bn} è decrescente e limitato, abbiamo che esiste un valore «c» tale che:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Il limite di an è "c" e anche il limite di {bn} è "c". Pertanto, dato ogni δ> 0, c'è sempre una "n" tale che l'intervallo è contenuto all'interno dell'intervallo (c-δ, c + δ).

Ora, si deve dimostrare che f (c) = 0.

Se f (c)> 0, allora poiché f è continuo, esiste un ε> 0 tale che f è positivo sull'intero intervallo (c - ε, c + ε). Tuttavia, come accennato in precedenza, esiste un valore "n" tale che f cambia segno e, inoltre, è contenuto all'interno di (c - ε, c + ε), il che è una contraddizione.

Se f (c) <0, allora poiché f è continua, esiste un ε> 0 tale che f è negativo per tutto l'intervallo (c - ε, c + ε); ma esiste un valore "n" tale che f cambi di accesso. Si scopre che è contenuto all'interno di (c - ε, c + ε), che è anche una contraddizione.

Pertanto, f (c) = 0 e questo è ciò che volevamo dimostrare.

Cosa serve?

Dalla sua interpretazione grafica, il teorema di Bolzano viene utilizzato per trovare radici o zeri in una funzione continua, attraverso la bisezione (approssimazione), che è un metodo di ricerca incrementale che divide sempre gli intervalli per 2.

Quindi viene preso un intervallo o dove si verifica il cambio di segno e il processo viene ripetuto fino a quando l'intervallo è sempre più piccolo, in modo da poter avvicinarsi al valore desiderato; cioè al valore che la funzione rende 0.

In sintesi, per applicare il teorema di Bolzano e quindi trovare le radici, limitare gli zeri di una funzione o dare una soluzione a un'equazione, vengono eseguiti i seguenti passaggi:

- Si verifica se f è una funzione continua sull'intervallo.

- Se l'intervallo non è dato, deve essere trovato dove la funzione è continua.

- Si verifica se gli estremi dell'intervallo danno segni opposti quando valutati in f.

- Se non si ottengono segni opposti, l'intervallo deve essere diviso in due sottointervalli utilizzando il punto medio.

- Valutare la funzione nel punto medio e verificare che l'ipotesi di Bolzano sia soddisfatta, dove f (a) _* f (b) <0.

- A seconda del segno (positivo o negativo) del valore trovato, il processo viene ripetuto con un nuovo sottointervallo fino a quando l'ipotesi di cui sopra non viene soddisfatta.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Determina se la funzione f (x) = x ² - 2, ha almeno una soluzione reale nell'intervallo.

Soluzione

Abbiamo la funzione f (x) = x ² - 2. Poiché è polinomiale, significa che è continua in qualsiasi intervallo.

Viene chiesto di determinare se ha una soluzione reale nell'intervallo, quindi ora è solo necessario sostituire gli estremi dell'intervallo nella funzione per conoscere il segno di questi e per sapere se soddisfano la condizione di essere diversi:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negativo)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positivo)

Pertanto, segno di f (1) ≠ segno f (2).

Ciò garantisce che vi sia almeno un punto "c" che appartiene all'intervallo, in cui f (c) = 0.

In questo caso, il valore di "c" può essere facilmente calcolato come segue:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Quindi, √2 ≈ 1,4 appartiene all'intervallo e soddisfa che f (√2) = 0.

Esercizio 2

Mostra che l'equazione x ⁵ + x + 1 = 0 ha almeno una soluzione reale.

Soluzione

Notiamo innanzitutto che f (x) = x ⁵ + x + 1 è una funzione polinomiale, il che significa che è continua su tutti i numeri reali.

In questo caso non viene fornito alcun intervallo, quindi i valori devono essere scelti in modo intuitivo, preferibilmente vicini a 0, per valutare la funzione e trovare le variazioni di segno:

Se utilizzi l'intervallo devi:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Poiché non vi è alcun cambiamento di segno, il processo viene ripetuto con un altro intervallo.

Se utilizzi l'intervallo devi:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

In questo intervallo c'è un cambio di segno: segno di f (-1) ≠ segno di f (0), il che significa che la funzione f (x) = x ⁵ + x + 1 ha almeno una radice reale «c» nell'intervallo, tale che f (c) = 0. In altre parole, è vero che x ⁵ + x + 1 = 0 ha una soluzione reale nell'intervallo.

Riferimenti

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