TRAPEZIO SCALENO: PROPRIETÀ, FORMULE ED EQUAZIONI, ESEMPI - MATEMATICA - 2026

Un trapezio scaleno è un poligono con quattro lati, due dei quali paralleli tra loro, e con i suoi quattro angoli interni di diverse misure.

Il quadrilatero ABCD è mostrato sotto, dove i lati AB e DC sono paralleli tra loro. Questo è sufficiente perché sia ​​un trapezio, ma anche gli angoli interni α, β, γ e δ sono tutti diversi, quindi il trapezio è scaleno.

Figura 1. Il quadrilatero ABCD è trapezoidale per la condizione 1 e scaleno per la condizione 2. Fonte: F. Zapata.

Elementi del trapezio scaleno

Ecco gli elementi più caratteristici:

-Basi e fianchi: i lati paralleli del trapezio sono le sue basi e i due lati non paralleli sono i lati.

In un trapezio scaleno le basi sono di diverse lunghezze e anche quelle laterali. Tuttavia, un trapezio scaleno può avere una lunghezza laterale uguale a una base.

-Median: è il segmento che unisce i punti medi di quelli laterali.

-Diagonali: la diagonale di un trapezio è il segmento che unisce due vertici opposti. Un trapezio, come ogni quadrilatero, ha due diagonali. Nel trapezio scaleno sono di diversa lunghezza.

Altri trapezi

Oltre al trapezio scaleno, esistono altri particolari trapezi: il trapezio destro e il trapezio isoscele.

Un trapezio è un rettangolo quando uno dei suoi angoli è retto, mentre un trapezio isoscele ha i suoi lati di uguale lunghezza.

La forma trapezoidale ha numerose applicazioni a livello di design e industria, come nella configurazione delle ali degli aerei, nella forma di oggetti di uso quotidiano come tavoli, schienali di sedie, imballaggi, borse, stampe tessili e altro ancora.

Figura 2. La forma trapezoidale è comune nella configurazione alare degli aeroplani. Fonte: Wikimedia Commons.

Proprietà

Di seguito sono elencate le proprietà del trapezio scaleno, molte delle quali si estendono ad altri tipi di trapezio. In quanto segue, quando si parla di "trapezio", la proprietà si applicherà a qualsiasi tipo, compreso lo scaleno.

1. La mediana del trapezio, cioè il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati non paralleli, è parallela a una qualsiasi delle basi.

2.- La mediana di un trapezio ha una lunghezza che è il semisum di quella delle sue basi e taglia le sue diagonali nel punto medio.

3.- Le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto che le divide in due sezioni proporzionali ai quozienti delle basi.

4.- La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati più il doppio prodotto delle sue basi.

5.- Il segmento che unisce i punti medi delle diagonali ha una lunghezza pari alla mezza differenza delle basi.

6.- Gli angoli adiacenti a quelli laterali sono supplementari.

7.- In un trapezio scaleno, le lunghezze delle sue diagonali sono diverse.

8.- Un trapezio ha una circonferenza inscritta solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.

9.- Se un trapezio ha una circonferenza inscritta, l'angolo con il vertice al centro di detta circonferenza e i lati che passano per le estremità del lato del trapezio è diritto.

10.- Un trapezio scaleno non ha una circonferenza circoscritta, l'unico tipo di trapezio che ha è isoscele.

Formule ed equazioni

Le seguenti relazioni del trapezio scaleno sono riferite alla figura seguente.

1.- Se AE = ED e BF = FC → EF - AB e EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 ovvero: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 e AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) allo stesso modo CJ / JA = (c / a).

Figura 3. Mediana e diagonali di un trapezio scaleno. Fonte: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = DC ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Equivalentemente:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Vale a dire:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ e β + γ = 180⁰

8.- Se α ≠ β ≠ γ ≠ δ allora d1 ≠ d2.

9.- La figura 4 mostra un trapezio scaleno che ha una circonferenza inscritta, in questo caso è vero che:

a + c = d + b

10.- In un ABCD trapezoidale scaleno con una circonferenza inscritta del centro O, vale anche quanto segue:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figura 4. Se in un trapezio si verifica che la somma delle sue basi è uguale alla somma di quelle laterali, allora c'è la circonferenza inscritta in esso. Fonte: F. Zapata.

Altezza

L'altezza di un trapezio è definita come il segmento che va da un punto della base perpendicolarmente alla base opposta (o alla sua estensione).

Tutte le altezze del trapezio hanno la stessa misura h, quindi la maggior parte delle volte la parola altezza si riferisce alla sua misura. In breve, l'altezza è la distanza o separazione tra le basi.

L'altezza h può essere determinata conoscendo la lunghezza di un lato e uno degli angoli adiacenti al lato:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediano

La misura m della mediana del trapezio è la semi-somma delle basi:

m = (a + b) / 2

Diagonali

d ₁ = √

d ₂ = √

Può anche essere calcolato se si conosce solo la lunghezza dei lati del trapezio:

d ₁ = √

d ₂ = √

Perimetro

Il perimetro è la lunghezza totale del contorno, cioè la somma di tutti i suoi lati:

P = a + b + c + d

La zona

L'area di un trapezio è il semisum delle sue basi moltiplicato per la sua altezza:

A = h ∙ (a + b) / 2

Si può anche calcolare se la mediana m è nota e l'altezza h:

A = m ∙ h

Nel caso in cui sia nota solo la lunghezza dei lati del trapezio, l'area può essere determinata utilizzando la formula di Heron per il trapezio:

A = ∙ √

Dove s è il semiperimetro: s = (a + b + c + d) / 2.

Altri rapporti per il trapezio scaleno

L'intersezione della mediana con le diagonali e il parallelo che passa per l'intersezione delle diagonali dà luogo ad altre relazioni.

Figura 5. Altre relazioni per il trapezio scaleno. Fonte: F. Zapata.

-Relazioni per la mediana EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relazioni per il segmento parallelo alle basi KL, e passante per il punto di intersezione J delle diagonali

Se KL - AB - DC con J ∈ KL, allora KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Costruzione del trapezio scaleno con riga e compasso

Date le basi delle lunghezze a e c, dove a> cy con lati delle lunghezze b e d, dove b> d, procedere seguendo questi passaggi (vedi figura 6):

1.- Con la regola si disegna il segmento della maggiore AB.

2.- Da A se e su AB segnare il punto P in modo che AP = c.

3.- Con il compasso con centro in P e raggio d si traccia un arco.

4.- Si realizza un centro in B con raggio b, disegnando un arco che intercetta l'arco disegnato nel passaggio precedente. Chiamiamo Q il punto di intersezione.

Figura 6. Costruzione di un trapezio scaleno dati i suoi lati. Fonte: F. Zapata.

5.- Con il centro in A, traccia un arco di raggio d.

6.- Con il centro in Q, disegnare un arco di raggio c che intercetta l'arco disegnato nel passaggio precedente. Il punto limite sarà chiamato R.

7.- I segmenti BQ, QR e RA vengono disegnati con il righello.

8.- Il quadrilatero ABQR è un trapezio scaleno, poiché APQR è un parallelogramma, che garantisce che AB - QR.

Esempio

Le seguenti lunghezze sono indicate in cm: 7, 3, 4 e 6.

a) Determina se con loro è possibile costruire un trapezio scaleno che possa circoscrivere un cerchio.

b) Trovare il perimetro, l'area, la lunghezza delle diagonali e l'altezza di detto trapezio, nonché il raggio del cerchio inscritto.

- Soluzione a

Utilizzando i segmenti di lunghezza 7 e 3 come basi e quelli di lunghezza 4 e 6 come lati, si può costruire un trapezio scaleno utilizzando la procedura descritta nella sezione precedente.

Resta da verificare se ha una circonferenza inscritta, ma ricordando la proprietà (9):

Lo vediamo in modo efficace:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Allora la condizione di esistenza della circonferenza inscritta è soddisfatta.

- Soluzione b

Perimetro

Il perimetro P si ottiene sommando i lati. Poiché le basi sommano fino a 10 e anche quelle laterali, il perimetro è:

P = 20 cm

La zona

Per determinare l'area, nota solo i suoi lati, si applica la relazione:

A = ∙ √

Dove s è il semiperimetro:

s = (a + b + c + d) / 2.

Nel nostro caso il semiperimetro vale s = 10 cm. Dopo aver sostituito i rispettivi valori:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Resti:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Altezza

L'altezza h è correlata all'area A dalla seguente espressione:

A = (a + c) ∙ h / 2, da cui si può ricavare l'altezza sgombrando:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Raggio del cerchio inscritto

Il raggio del cerchio inscritto è uguale alla metà dell'altezza:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonali

Infine troviamo la lunghezza delle diagonali:

d ₁ = √

d ₂ = √

Sostituendo correttamente i valori che abbiamo:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Cioè: d ₁ = 4,69 cm ed ₂ = 8,49 cm

Figura 7. Trapezio scaleno che soddisfa la condizione di esistenza di una circonferenza inscritta. Fonte: F. Zapata.

Esercizio risolto

Determina gli angoli interni del trapezio con basi AB = a = 7, CD = c = 3 e angoli laterali BC = b = 6, DA = d = 4.

Soluzione

Il teorema del coseno può essere applicato per determinare gli angoli. Ad esempio, l'angolo ∠A = α è determinato dal triangolo ABD con AB = a = 7, BD = d2 = 8.49 e DA = d = 4.

Il teorema del coseno applicato a questo triangolo ha questo aspetto:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), ovvero:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Risolvendo per, si ottiene il coseno dell'angolo α:

Cos (α) = -1/8

Cioè, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Gli altri angoli si ottengono allo stesso modo, i loro valori sono:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ e infine δ = 82,82⁰.

Riferimenti

1. CEA (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematica 2. Grupo Editorial Patria.
3. Liberato, K. (2007). Scopri i poligoni. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematica Primo semestre Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematica 5. Editoriale Progreso.
9. Wikipedia. Trapezio. Estratto da: es.wikipedia.com