TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA: PROPRIETÀ, APPLICAZIONI, ESEMPI - MATEMATICA - 2026

La trasformata discreta di Fourier è un metodo numerico utilizzato per definire campioni riferiti alle frequenze spettrali che compongono un segnale. Studia le funzioni periodiche in parametri chiusi, producendo un altro segnale discreto come risultato.

Per ottenere la trasformata discreta di Fourier di N punti, su un segnale discreto, devono essere soddisfatte le seguenti 2 condizioni su una sequenza x

TDF

La trasformata discreta di Fourier può essere definita come un campionamento in punti N della trasformata di Fourier.

Interpretazione della trasformata discreta di Fourier

Fonte: Pexels

Ci sono 2 punti di vista da cui i risultati ottenuti su una sequenza x _s possono essere interpretati attraverso la trasformata discreta di Fourier.

-Il primo corrisponde ai coefficienti spettrali, già noti dalla serie di Fourier. Si osserva in segnali periodici discreti, con campioni coincidenti con la sequenza x _s .

-Il secondo si occupa dello spettro di un segnale aperiodico discreto, con campioni corrispondenti alla sequenza x _s .

La trasformata discreta è un'approssimazione dello spettro del segnale analogico originale. La sua fase dipende dagli istanti di campionamento, mentre la sua ampiezza dipende dall'intervallo di campionamento.

Proprietà

I fondamenti algebrici della struttura costituiscono il fondamento logico delle sezioni seguenti.

Linearità

C. S _n → C. F; Se una sequenza viene moltiplicata per uno scalare, lo sarà anche la sua trasformazione.

T _n + V _n = F + F; La trasformazione di una somma è uguale alla somma delle trasformazioni.

Dualità

F → (1 / N) S _-k; Se la trasformata discreta di Fourier viene ricalcolata in un'espressione già trasformata, si ottiene la stessa espressione, scalata in N e invertita rispetto all'asse verticale.

Convoluzione

Perseguendo obiettivi simili a quelli della trasformata di Laplace, la convoluzione delle funzioni si riferisce al prodotto tra le loro trasformate di Fourier. La convoluzione si applica anche a tempi discreti ed è responsabile di molte procedure moderne.

X _n * R _n → F .F; La trasformata di una convoluzione è uguale al prodotto delle trasformate.

X _n . R _n → F * F; La trasformata di un prodotto è uguale alla convoluzione delle trasformate.

Dislocamento

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Se una sequenza viene ritardata di m campioni, il suo effetto sulla trasformazione discreta sarà una modifica dell'angolo definito da (2π / N) km.

Simmetria

X _t = X * _t = X _t

Modulazione

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Prodotto

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simmetria

X ↔ X _t = X * _t

Coniugare

x * ↔ X * _t

Equazione di Parseval

Rispetto alla trasformata di Fourier convenzionale presenta numerose somiglianze e differenze. La trasformata di Fourier converte una sequenza in una linea continua. In questo modo si dice che il risultato della variabile di Fourier è una funzione complessa di una variabile reale.

La trasformata discreta di Fourier, a differenza, riceve un segnale discreto e lo trasforma in un altro segnale discreto, cioè una sequenza.

A cosa serve la trasformata discreta di Fourier?

Servono principalmente a semplificare notevolmente le equazioni, trasformando le espressioni derivate in elementi di potere. Indicare espressioni differenziali in forme polinomiali integrabili.

Nell'ottimizzazione, modulazione e modellazione dei risultati, agisce come un'espressione standardizzata, essendo una risorsa frequente per l'ingegneria dopo diverse generazioni.

Fonte: pixabay

Storia

Questo concetto matematico fu introdotto da Joseph B. Fourier nel 1811, mentre sviluppava un trattato sulla propagazione del calore. È stato rapidamente adottato da vari rami della scienza e dell'ingegneria.

Si è affermato come principale strumento di lavoro nello studio delle equazioni con derivate parziali, anche confrontandolo con il rapporto di lavoro esistente tra la trasformata di Laplace e le equazioni differenziali ordinarie.

Ogni funzione che può essere lavorata con una trasformata di Fourier deve presentare null al di fuori di un parametro definito.

Trasformata discreta di Fourier e sua inversa

La trasformata discreta si ottiene attraverso l'espressione:

Dopo aver dato una sequenza discreta X

L'inverso della trasformata discreta di Fourier è definito attraverso l'espressione:

PTO invertita

Una volta ottenuta la trasformata discreta, consente di definire la sequenza nel dominio del tempo X.

Alato

Il processo di parametrizzazione corrispondente alla trasformata discreta di Fourier risiede nel windowing. Per lavorare la trasformazione dobbiamo limitare la sequenza nel tempo. In molti casi i segnali in questione non hanno queste limitazioni.

Una sequenza che non soddisfa i criteri dimensionali da applicare alla trasformata discreta può essere moltiplicata per una funzione "finestra" V, che definisce il comportamento della sequenza in un parametro controllato.

X. V

L'ampiezza dello spettro dipenderà dalla larghezza della finestra. All'aumentare della larghezza della finestra, la trasformazione calcolata sarà più stretta.

applicazioni

Calcolo della soluzione fondamentale

La trasformata discreta di Fourier è un potente strumento nello studio di sequenze discrete.

La trasformata discreta di Fourier trasforma una funzione variabile continua in una trasformata variabile discreta.

Il problema di Cauchy per l'equazione del calore presenta un frequente campo di applicazione della trasformata discreta di Fourier . Dove viene generata la funzione principale del calore o nucleo di Dirichlet, che si applica ai valori di campionamento in un parametro definito.

Teoria dei segnali

La ragione generale per l'applicazione della trasformata discreta di Fourier in questo ramo è principalmente dovuta alla decomposizione caratteristica di un segnale come una sovrapposizione infinita di segnali più facilmente trattabili.

Può essere un'onda sonora o un'onda elettromagnetica, la trasformata discreta di Fourier la esprime in una sovrapposizione di onde semplici. Questa rappresentazione è abbastanza frequente nell'ingegneria elettrica.

La serie di Fourier

Sono serie definite in termini di coseno e seno. Servono per facilitare il lavoro con funzioni periodiche generali. Quando vengono applicati, fanno parte delle tecniche per risolvere equazioni alle derivate ordinarie e parziali.

Le serie di Fourier sono anche più generali delle serie di Taylor, perché sviluppano funzioni discontinue periodiche che non hanno la rappresentazione della serie di Taylor.

Altre forme della serie di Fourier

Per comprendere analiticamente la trasformata di Fourier, è importante rivedere gli altri modi in cui la serie di Fourier può essere trovata, fino a quando non possiamo definire la serie di Fourier nella sua notazione complessa.

-Quattro serie in funzione del periodo 2L:

Viene considerato l'intervallo, che offre vantaggi quando si sfruttano le caratteristiche simmetriche delle funzioni.

Se f è pari, la serie di Fourier è stabilita come una serie di Coseni.

Se f è dispari, la serie di Fourier è stabilita come una serie di Seni.

-Notazione complessa della serie di Fourier

Se abbiamo una funzione f (t), che soddisfa tutti i requisiti della serie di Fourier, è possibile denotarla nell'intervallo usando la sua notazione complessa:

Esempi

Per quanto riguarda il calcolo della soluzione fondamentale, vengono presentati i seguenti esempi:

D'altra parte, i seguenti sono esempi dell'applicazione della trasformata discreta di Fourier nel campo della teoria dei segnali:

-Problemi di identificazione del sistema. Stabilito f e g

-Problema con la consistenza del segnale di uscita

-Problemi con il filtraggio del segnale

esercizi

Esercizio 1

Calcola la trasformata discreta di Fourier per la seguente sequenza.

È possibile definire la PTO di x come:

X _t = {4, -j2, 0, j2} per k = 0, 1, 2, 3

Esercizio 2

Vogliamo determinare il segnale spettrale definito dall'espressione x (t) = e ^-t tramite un algoritmo digitale . Dove il coefficiente di richiesta di frequenza massima è f _m = 1Hz. Un'armonica corrisponde af = 0,3 Hz. L'errore è limitato a meno del 5%. Calcola f _s , D e N.

Tenendo conto del teorema del campionamento f _s = 2f _m = 2 Hz

Si sceglie una risoluzione in frequenza di f ₀ = 0,1 Hz, da cui si ottiene D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz è la frequenza corrispondente all'indice k = 3, dove N = 3 × 8 = 24 campioni. Indica che f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Poiché l'obiettivo è ottenere il valore più basso possibile per N, i seguenti valori possono essere considerati una soluzione:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Riferimenti

1. Padroneggiare la trasformata discreta di Fourier in una, due o più dimensioni: insidie ​​e artefatti. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 luglio. 2013
2. The DFT: An Owners 'Manual for the Discrete Fourier Transform. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 gennaio. 1995
3. Elaborazione del segnale digitale: teoria e pratica. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Trasformazioni e algoritmi veloci per analisi e rappresentazioni dei segnali. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 dicembre. 2012
5. Trasformate di Fourier discrete e continue: analisi, applicazioni e algoritmi veloci. Eleanor Chu. CRC Press, 19 marzo. 2008