TRAPEZIO DESTRO: PROPRIETÀ, RELAZIONI E FORMULE, ESEMPI - MATEMATICA - 2026

Un trapezio destro è una figura piatta con quattro lati, in modo tale che due di loro siano paralleli tra loro, chiamati basi e anche uno degli altri lati è perpendicolare alle basi.

Per questo motivo, due degli angoli interni sono retti, cioè misurano 90º. Da qui il nome "rettangolo" che viene dato alla figura. L'immagine seguente di un trapezio destro chiarisce queste caratteristiche:

Elementi trapezoidali

Gli elementi del trapezio sono:

-Basi

-Vertices

-Altezza

-Angoli interni

-Base media

-Diagonali

Descriveremo in dettaglio questi elementi con l'aiuto delle figure 1 e 2:

Figura 1. Un trapezio destro, caratterizzato dall'avere due angoli interni di 90º: A e B. Fonte: F. Zapata.

I lati del trapezio di destra sono indicati con lettere minuscole a, b, ce d. Gli angoli della figura o dei vertici sono indicati in lettere maiuscole. Infine gli angoli interni sono espressi in lettere greche.

Secondo la definizione, le basi di questo trapezio sono i lati aeb, che come osservati sono paralleli e hanno anche lunghezze diverse.

Il lato perpendicolare ad entrambe le basi è il lato c a sinistra, che è l'altezza h del trapezio. Infine, c'è il lato d, che forma l'angolo acuto α con il lato a.

La somma degli angoli interni di un quadrilatero è di 360º. È facile vedere che l'angolo mancante C nella figura è 180 - α.

La base mediana è il segmento che unisce i punti medi dei lati non paralleli (segmento EF nella Figura 2).

Figura 2. Gli elementi del trapezio destro. Fonte: F. Zapata.

E infine ci sono le diagonali d ₁ ed ₂ , i segmenti che uniscono i vertici opposti e che si intersecano nel punto O (vedi figura 2).

Relazioni e formule

Altezza trapezoidale h

Perimetro P

È la misura del contorno e si calcola sommando i lati:

Il lato d è espresso in termini di altezza o lato c dal teorema di Pitagora:

Sostituzione nel perimetro:

Base centrale

È la semi-somma delle basi:

A volte la base media si trova espressa in questo modo:

La zona

L'area A del trapezio è il prodotto della base media per l'altezza:

Diagonali, lati e angoli

Nella Figura 2 compaiono diversi triangoli, sia a destra che non a destra. Il teorema di Pitagora può essere applicato a quelli che sono triangoli rettangoli ea quelli che non lo sono, i teoremi del coseno e del seno.

In questo modo si trovano le relazioni tra i lati e tra i lati e gli angoli interni del trapezio.

Triangolo CPA

È un rettangolo, le sue gambe sono uguali e valgono b, mentre l'ipotenusa è la diagonale d ₁ , quindi:

Triangolo DAB

È anche un rettangolo, le gambe sono a e c (o anche ayh) e l'ipotenusa è d ₂ , quindi:

Triangolo CDA

Poiché questo triangolo non è un triangolo rettangolo, viene applicato il teorema del coseno o anche il teorema del seno.

Secondo il teorema del coseno:

Triangolo CDP

Questo triangolo è un triangolo rettangolo e con i suoi lati si costruiscono i rapporti trigonometrici dell'angolo α:

Ma il lato PD = a - b, quindi:

Hai anche:

Triangolo CBD

In questo triangolo abbiamo l'angolo il cui vertice è in C. Non è segnato in figura, ma all'inizio è stato evidenziato che vale 180 - α. Questo triangolo non è un triangolo rettangolo, quindi è possibile applicare il teorema del coseno o il teorema del seno.

Ora, si può facilmente dimostrare che:

Applicando il teorema del coseno:

Esempi di trapezi destri

I trapezi e in particolare i trapezi di destra si trovano su molti lati, e talvolta non sempre in forma tangibile. Qui abbiamo diversi esempi:

Il trapezio come elemento di design

Le figure geometriche abbondano nell'architettura di molti edifici, come questa chiesa di New York, che mostra una struttura a forma di trapezio rettangolare.

Allo stesso modo, la forma trapezoidale è frequente nella progettazione di contenitori, contenitori, lame (taglierina o esatta), piatti e nella progettazione grafica.

Figura 3. Angelo all'interno di un rettangolo trapezoidale in una chiesa di New York. Fonte: David Goehring tramite Flickr.

Generatore di onde trapezoidali

I segnali elettrici non possono essere solo quadrati, sinusoidali o triangolari. Esistono anche segnali trapezoidali utili in molti circuiti. Nella figura 4 è presente un segnale trapezoidale composto da due trapezi destri. Tra di loro formano un singolo trapezio isoscele.

Figura 4. Un segnale trapezoidale. Fonte: Wikimedia Commons.

Nel calcolo numerico

Per calcolare in forma numerica l'integrale definito della funzione f (x) tra aeb, si usa la regola del trapezio per approssimare l'area sotto il grafico di f (x). Nella figura seguente, a sinistra l'integrale è approssimato con un unico trapezio destro.

Una migliore approssimazione è quella nella figura a destra, con più trapezi destri.

Figura 5. Un integrale definito tra aeb non è altro che l'area sotto la curva f (x) tra questi valori. Un trapezio destro può servire come prima approssimazione per tale area, ma più trapezi vengono utilizzati, migliore è l'approssimazione. Fonte: Wikimedia Commons.

Trave con carico trapezoidale

Le forze non sono sempre concentrate su un unico punto, poiché i corpi su cui agiscono hanno dimensioni apprezzabili. È il caso di un ponte sul quale circolano continuamente veicoli, l'acqua di una piscina sulle pareti verticali della stessa o di un tetto su cui si accumula acqua o neve.

Per questo motivo, le forze sono distribuite per unità di lunghezza, superficie o volume, a seconda del corpo su cui agiscono.

Nel caso di una trave, una forza distribuita per unità di lunghezza può avere varie distribuzioni, ad esempio il trapezio destro mostrato di seguito:

Figura 6. Carichi su una trave. Fonte: Bedford, A. 1996. Statico. Addison Wesley Interamericana.

In realtà, le distribuzioni non corrispondono sempre a forme geometriche regolari come questa, ma in molti casi possono essere una buona approssimazione.

Come strumento educativo e di apprendimento

I blocchi e le immagini di forma geometrica, compresi i trapezi, sono molto utili per far conoscere ai bambini l'affascinante mondo della geometria sin dalla tenera età.

Figura 7. Blocchi con forme geometriche semplici. Quanti trapezi di destra sono nascosti nei blocchi? Fonte: Wikimedia Commons.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Nel trapezio di destra di figura 1, la base più grande è di 50 cm e la base più piccola è pari a 30 cm, è anche noto che il lato obliquo è di 35 cm. Trova:

a) Angolo α

b) Altezza

c) Perimetro

d) Base media

e) Area

f) Diagonali

Soluzione a

I dati del rendiconto sono riassunti come segue:

a = base più grande = 50 cm

b = base più piccola = 30 cm

d = lato inclinato = 35 cm

Per trovare l'angolo α visitiamo la sezione formule ed equazioni, per vedere qual è quello che meglio si adatta ai dati forniti. L'angolo cercato si trova in molti dei triangoli analizzati, ad esempio il CDP.

Lì abbiamo questa formula, che contiene l'ignoto e anche i dati che conosciamo:

Così:

Cancella h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

E per la diagonale d ₂ :

Riferimenti

1. Baldor, A. 2004. Geometria del piano e dello spazio con la trigonometria. Pubblicazioni culturali.
2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometria. 2014. Poligoni. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Trapezio rettangolare. Estratto da: es.onlinemschool.com.
5. Risolutore automatico di problemi di geometria. Il trapezio. Estratto da: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapezio (geometria). Estratto da: es.wikipedia.org.