TEOREMA DI CHEBYSHOV: COS'È, APPLICAZIONI ED ESEMPI - MATEMATICA - 2026

Il teorema di Chebyshev (Chebyshev o disuguaglianza) è uno dei risultati classici più importanti della teoria della probabilità. Consente di stimare la probabilità di un evento descritto in termini di variabile casuale X, fornendoci un limite che non dipende dalla distribuzione della variabile casuale ma dalla varianza di X.

Il teorema prende il nome dal matematico russo Pafnuty Chebyshov (scritto anche come Chebychev o Tchebycheff) che, pur non essendo il primo a dichiarare il teorema, fu il primo a dare una dimostrazione nel 1867.

Questa disuguaglianza, o quelle che per le loro caratteristiche sono chiamate disuguaglianza di Chebyshov, vengono utilizzate principalmente per approssimare le probabilità calcolando le altezze.

In cosa consiste?

Nello studio della teoria della probabilità accade che se la funzione di distribuzione di una variabile casuale X è nota, il suo valore atteso - o aspettativa matematica E (X) - e la sua varianza Var (X) possono essere calcolati, purché tali importi esistono. Tuttavia, il contrario non è necessariamente vero.

Cioè, conoscendo E (X) e Var (X) non è necessariamente possibile ottenere la funzione di distribuzione di X, quindi quantità come P (-X-> k) per qualche k> 0 sono molto difficili da ottenere. Ma grazie alla disuguaglianza di Chebyshov è possibile stimare la probabilità della variabile casuale.

Il teorema di Chebyshov ci dice che se abbiamo una variabile casuale X su uno spazio campionario S con una funzione di probabilità p, e se k> 0, allora:

Applicazioni ed esempi

Tra le molte applicazioni del teorema di Chebyshov, si possono menzionare le seguenti:

Probabilità limitanti

Questa è l'applicazione più comune e viene utilizzata per fornire un limite superiore per P (-XE (X) -≥k) dove k> 0, solo con la varianza e l'aspettativa della variabile casuale X, senza conoscere la funzione di probabilità .

Esempio 1

Supponiamo che il numero di prodotti fabbricati in un'azienda durante una settimana sia una variabile casuale con una media di 50.

Se si sa che la varianza di una settimana di produzione è pari a 25, cosa possiamo dire della probabilità che questa settimana la produzione differisca di più di 10 dalla media?

Soluzione

Applicando la disuguaglianza di Chebyshov abbiamo:

Da ciò si ricava che la probabilità che nella settimana di produzione il numero di articoli superi la media di oltre 10 è al massimo 1/4.

Teoremi di dimostrazione del limite

La disuguaglianza di Chebyshov gioca un ruolo importante nel dimostrare i teoremi limite più importanti. Come esempio abbiamo quanto segue:

Legge debole dei grandi numeri

Questa legge afferma che data una sequenza X1, X2,…, Xn,… di variabili casuali indipendenti con la stessa distribuzione media E (Xi) = μ e varianza Var (X) = σ ² , e un campione medio noto di:

Allora per k> 0 abbiamo:

Oppure, equivalentemente:

Dimostrazione

Notiamo innanzitutto quanto segue:

Poiché X1, X2, …, Xn sono indipendenti, ne consegue che:

Pertanto, è possibile affermare quanto segue:

Quindi, usando il teorema di Chebyshov, abbiamo:

Infine, il teorema risulta dal fatto che il limite a destra è zero quando n si avvicina all'infinito.

Va notato che questo test è stato fatto solo per il caso in cui esiste la varianza di Xi; cioè, non diverge. Quindi osserviamo che il teorema è sempre vero se esiste E (Xi).

Teorema del limite di Chebyshov

Se X1, X2,…, Xn,… è una sequenza di variabili casuali indipendenti tale che esista qualche C <infinito, tale che Var (Xn) ≤ C per tutti gli n naturali, allora per ogni k> 0:

Dimostrazione

Poiché la successione delle varianze è uniformemente limitata, abbiamo che Var (Sn) ≤ C / n, per tutti gli n naturali. Ma sappiamo che:

Facendo tendere n all'infinito, si ottengono i seguenti risultati:

Poiché una probabilità non può superare il valore di 1, si ottiene il risultato desiderato. Come conseguenza di questo teorema, potremmo citare il caso particolare di Bernoulli.

Se un esperimento viene ripetuto n volte indipendentemente con due possibili risultati (fallimento e successo), dove p è la probabilità di successo in ogni esperimento e X è la variabile casuale che rappresenta il numero di successi ottenuti, allora per ogni k> 0 devi:

Misura di prova

In termini di varianza, la disuguaglianza di Chebyshov ci consente di trovare una dimensione campionaria n sufficiente a garantire che la probabilità che si verifichi -Sn-μ -> = k sia piccola quanto desiderato, il che consente un'approssimazione alla media.

In particolare, siano X1, X2,… Xn un campione di variabili casuali indipendenti di dimensione ne supponiamo che E (Xi) = μ e la sua varianza σ ² . Quindi, per la disuguaglianza di Chebyshov abbiamo:

Esempio

Supponiamo che X1, X2,… Xn siano un campione di variabili casuali indipendenti con distribuzione di Bernoulli, tali che assumano il valore 1 con probabilità p = 0,5.

Quale deve essere la dimensione del campione per poter garantire che la probabilità che la differenza tra la media aritmetica Sn e il suo valore atteso (superiore di più di 0,1), sia minore o uguale a 0,01?

Soluzione

Abbiamo che E (X) = μ = p = 0,5 e che Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Per la disuguaglianza di Chebyshov, per ogni k> 0 abbiamo:

Ora, prendendo k = 0,1 e δ = 0,01, abbiamo:

In questo modo si conclude che è necessaria una dimensione campionaria di almeno 2.500 per garantire che la probabilità dell'evento -Sn - 0,5 -> = 0,1 sia inferiore a 0,01.

Disuguaglianze di tipo Chebyshov

Ci sono diverse disuguaglianze legate alla disuguaglianza di Chebyshov. Uno dei più noti è la disuguaglianza di Markov:

In questa espressione X è una variabile casuale non negativa con k, r> 0.

La disuguaglianza di Markov può assumere diverse forme. Ad esempio, sia Y una variabile casuale non negativa (quindi P (Y> = 0) = 1) e supponiamo che E (Y) = μ esista. Supponiamo inoltre che (E (Y)) ^r = μ _r esista per qualche intero r> 1. Così:

Un'altra disuguaglianza è gaussiana, che ci dice che data una variabile casuale unimodale X con modo a zero, allora per k> 0,

Riferimenti

1. Kai Lai Chung. Teoria elementare della proabilità con processi stocastici. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen Matematica discreta e sue applicazioni. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilità e applicazioni statistiche. SA ALHAMBRA MESSICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemi risolti di matematica discreta. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemi di probabilità. McGRAW-HILL.