- Esempi di addizione di polinomi
- Aggiungi due o più polinomi con più di una variabile
- Esercizi di addizione polinomiale
- - Esercizio 1
- Soluzione
- - Esercizio 2
- Soluzione a
- Riferimenti
La somma dei polinomi è l'operazione che consiste nell'aggiungere due o più polinomi, ottenendo un altro polinomio. Per eseguirlo, è necessario aggiungere i termini dello stesso ordine di ciascuno dei polinomi e indicare la somma risultante.
Rivediamo prima brevemente il significato di "termini dello stesso ordine". Qualsiasi polinomio è costituito da addizioni e / o sottrazioni di termini.
Figura 1. Per aggiungere due polinomi è necessario ordinarli e poi ridurre i termini simili. Fonte: Pixabay + Wikimedia Commons.
I termini possono essere prodotti di numeri reali e una o più variabili, rappresentate da lettere, ad esempio: 3x 2 e -√5.a 2 bc 3 sono termini.
Ebbene, i termini dello stesso ordine sono quelli che hanno lo stesso esponente o potenza, sebbene possano avere un coefficiente diverso.
-I termini di uguale ordine sono: 5x 3 , √2 x 3 e -1 / 2x 3
-Termini di ordini diversi: -2x -2 , 2xy -1 e √6x 2 e
È importante tenere presente che solo i termini dello stesso ordine possono essere aggiunti o sottratti, operazione nota come riduzione. Altrimenti la somma viene semplicemente lasciata indicata.
Una volta chiarito il concetto di termini dello stesso ordine, i polinomi vengono aggiunti seguendo questi passaggi:
- Ordinare i primi polinomi da sommare, tutti allo stesso modo, in modo crescente o decrescente, cioè con potenze dalla più bassa alla più alta o viceversa.
- Completare , nel caso in cui manchi l'alimentazione nella sequenza.
- Riduci termini simili.
- Indicare la somma risultante.
Esempi di addizione di polinomi
Inizieremo aggiungendo due polinomi con un'unica variabile chiamata x, ad esempio i polinomi P (x) e Q (x) dati da:
P (x) = 2x 2 - 5x 4 + 2x –x 5 - 3x 3 +12
Q (x) = x 5 - 25 x + x 2
Seguendo i passaggi descritti, inizierai ordinandoli in ordine decrescente, che è il modo più comune:
P (x) = –x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
Il polinomio Q (x) non è completo, si vede che mancano potenze con esponenti 4, 3 e 0. Quest'ultimo è semplicemente il termine indipendente, quello che non ha lettera.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Una volta completato questo passaggio, sono pronti per l'aggiunta. Puoi aggiungere i termini simili e quindi indicare la somma, oppure posizionare i polinomi ordinati uno sotto l'altro e ridurre per colonne, in questo modo:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
+ x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 –5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
È importante notare che quando viene aggiunto, viene fatto rispettando algebricamente la regola dei segni, in questo modo 2x + (-25 x) = -23x. Cioè, se i coefficienti hanno un segno diverso, vengono sottratti e il risultato porta il segno del maggiore.
Aggiungi due o più polinomi con più di una variabile
Quando si tratta di polinomi con più di una variabile, una di esse viene scelta per ordinarla. Ad esempio, supponi di chiedere di aggiungere:
R (x, y) = 5x 2 - 4y 2 + 8xy - 6y 3
E:
T (x, y) = ½ x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 e
Viene scelta una delle variabili, ad esempio x per ordinare:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy - 6y 2
Immediatamente vengono completati i termini mancanti, secondo i quali ogni polinomio ha:
R (x, y) = 0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2
E siete entrambi pronti a ridurre termini simili:
0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
+ x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2 +
---------------------–
+ x 3 y + 11 / 2x 2 - 3xy - 6y 3 - 10y 2 = R (x, y) + T (x, y)
Esercizi di addizione polinomiale
- Esercizio 1
Nella seguente somma di polinomi, indicare il termine che deve andare nello spazio vuoto per ottenere la somma dei polinomi:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 -14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
Soluzione
Per ottenere -6x 5 è necessario un termine della forma ax 5 , tale che:
a + 1+ 2 = -6
Così:
a = -6-1-2 = -9
E il termine di ricerca è:
-9x 5
-Procediamo in modo simile per trovare il resto dei termini. Ecco quello per l'esponente 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
Il termine mancante è: 13x 4 .
-Per le potenze di x 3 è immediato che il termine debba essere -9x 3 , in questo modo il coefficiente del termine cubo è 0.
-Come per le potenze al quadrato: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 e il termine è -5x 2 .
-Il termine lineare si ottiene per mezzo di a +8-14 = -11 → a = -11 + 14-8 = -5, il termine mancante è -5x.
-Infine, il termine indipendente è: 1-3 + a = -21 → a = -19.
- Esercizio 2
Un terreno pianeggiante è recintato come mostrato in figura. Trova un'espressione per:
a) Il perimetro e
b) La sua area, nei termini delle lunghezze indicate:
Figura 2. Un terreno pianeggiante è recintato con la forma e le dimensioni indicate. Fonte: F. Zapata.
Soluzione a
Il perimetro è definito come la somma dei lati e dei contorni della figura. Partendo dall'angolo in basso a sinistra, in senso orario, abbiamo:
Perimetro = y + x + lunghezza del semicerchio + z + lunghezza della diagonale + z + z + x
Il semicerchio ha un diametro pari a x. Poiché il raggio è la metà del diametro, devi:
Raggio = x / 2.
La formula per la lunghezza di una circonferenza completa è:
L = 2π x raggio
Così:
Lunghezza del semicerchio = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Da parte sua, la diagonale è calcolata con il teorema di Pitagora applicato ai lati: (x + y) che è il lato verticale e z, che è l'orizzontale:
Diagonale = 1/2
Queste espressioni vengono sostituite in quella di perimetro, per ottenere:
Perimetro = y + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
I termini simili sono ridotti, poiché l'aggiunta richiede che il risultato sia semplificato il più possibile:
Perimetro = y + + z + z + z + 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z
Soluzione b
L'area risultante è la somma dell'area del rettangolo, del semicerchio e del triangolo rettangolo. Le formule per queste aree sono:
- Rettangolo : base x altezza
- Semicerchio : ½ π (raggio) 2
- Triangolo : base x altezza / 2
Area rettangolo
(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz
Area semicerchio
½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Area del triangolo
½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy
Area totale
Per trovare l'area totale, vengono aggiunte le espressioni trovate per ciascuna area parziale:
Area totale = x 2 + xz yz + + x + (π x 2 /8) + zx + ½ ½ zy
E infine tutti i termini simili vengono ridotti:
Area totale = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx
Riferimenti
- Baldor, A. 1991. Algebra. Editoriale Culturale Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- La matematica è divertente Aggiungere e sottrarre polinomi. Estratto da: mathsisfun.com.
- Monterey Institute. Sommare e sottrarre polinomi. Estratto da: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Algebra dei polinomi. Estratto da: math.berkeley.edu.