- Qual è la somma dei quadrati di due numeri consecutivi?
- Qual è la somma dei quadrati?
- Esempi
- Riferimenti
Per scoprire qual è la somma dei quadrati di due numeri consecutivi si può trovare una formula, con la quale è sufficiente sostituire i numeri coinvolti per ottenere il risultato.
Questa formula può essere trovata in modo generale, ovvero può essere utilizzata per qualsiasi coppia di numeri consecutivi.
Dicendo "numeri consecutivi", stai implicitamente dicendo che entrambi i numeri sono numeri interi. E con "i quadrati" si riferisce alla quadratura di ogni numero.
Ad esempio, se si considerano i numeri 1 e 2, i loro quadrati sono 1² = 1 e 2² = 4, quindi la somma dei quadrati è 1 + 4 = 5.
Se invece si prendono i numeri 5 e 6, i loro quadrati sono 5² = 25 e 6² = 36, con cui la somma dei quadrati è 25 + 36 = 61.
Qual è la somma dei quadrati di due numeri consecutivi?
L'obiettivo ora è generalizzare ciò che è stato fatto negli esempi precedenti. Per fare ciò, è necessario trovare un modo generale per scrivere un numero intero e il suo numero intero consecutivo.
Se guardi due numeri interi consecutivi, ad esempio 1 e 2, puoi vedere che 2 può essere scritto come 1 + 1. Inoltre, se si osservano i numeri 23 e 24, si conclude che 24 può essere scritto come 23 + 1.
Per gli interi negativi questo comportamento può essere verificato. Infatti, se si considerano -35 e -36, si può vedere che -35 = -36 + 1.
Pertanto, se viene scelto un numero intero "n", il numero intero consecutivo a "n" è "n + 1". Pertanto, è già stata stabilita una relazione tra due numeri interi consecutivi.
Qual è la somma dei quadrati?
Dati due interi consecutivi "n" e "n + 1", i loro quadrati sono "n²" e "(n + 1) ²". Utilizzando le proprietà di prodotti degni di nota, quest'ultimo termine può essere scritto come segue:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Infine, la somma dei quadrati dei due numeri consecutivi è data dall'espressione:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Se la formula precedente è dettagliata, si può vedere che è sufficiente conoscere il più piccolo intero "n" per sapere qual è la somma dei quadrati, cioè è sufficiente utilizzare il più piccolo dei due numeri interi.
Un'altra prospettiva della formula ottenuta è: i numeri scelti vengono moltiplicati, quindi il risultato ottenuto viene moltiplicato per 2 e infine viene aggiunto 1.
D'altra parte, il primo addendo a destra è un numero pari e l'aggiunta di 1 risulterà dispari. Questo dice che il risultato dell'aggiunta dei quadrati di due numeri consecutivi sarà sempre un numero dispari.
Si può anche notare che poiché vengono aggiunti due numeri al quadrato, questo risultato sarà sempre positivo.
Esempi
1.- Considera gli interi 1 e 2. Il numero intero più piccolo è 1. Utilizzando la formula precedente, si conclude che la somma dei quadrati è: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Che concorda con i conteggi effettuati all'inizio.
2.- Se vengono presi gli interi 5 e 6, la somma dei quadrati sarà 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, che coincide anche con il risultato ottenuto all'inizio.
3.- Se vengono scelti gli interi -10 e -9, la somma dei loro quadrati è: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Siano gli interi in questa opportunità -1 e 0, quindi la somma dei loro quadrati è data da 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Riferimenti
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