SIMMETRIA ASSIALE: PROPRIETÀ, ESEMPI ED ESERCIZI - MATEMATICA - 2025

La simmetria assiale è quando i punti di una figura coincidono con i punti di un'altra figura da una bisettrice retta chiamata asse di simmetria. È anche chiamata simmetria radiale, rotazionale o cilindrica.

Di solito è applicato in figure geometriche, ma è facilmente osservabile in natura, poiché ci sono animali come farfalle, scorpioni, coccinelle o umani che presentano simmetria assiale.

La simmetria assiale è mostrata in questa foto dello skyline della città di Toronto e del suo riflesso nell'acqua. (Fonte: pixabay)

Come trovare la simmetria assiale

Per trovare la simmetria assiale P 'di un punto P rispetto ad una retta (L) si eseguono le seguenti operazioni geometriche:

1.- La perpendicolare alla retta (L) che passa per il punto P.

2.- L'intercettazione delle due linee determina un punto O.

3.- Viene misurata la lunghezza del segmento PO, quindi tale lunghezza viene copiata sulla linea (PO) partendo da O nella direzione da P a O, determinando il punto P '.

4.- Il punto P 'è la simmetria assiale del punto P rispetto all'asse (L), poiché la linea (L) è la bisettrice del segmento PP', essendo O il punto medio di detto segmento.

Figura 1. Due punti P e P 'sono assialmente simmetrici ad un asse (L) se detto asse è una bisettrice del segmento PP'

Proprietà della simmetria assiale

- La simmetria assiale è isometrica, ovvero le distanze di una figura geometrica e la sua simmetria corrispondente vengono preservate.

- La misura di un angolo e la sua simmetria sono uguali.

- La simmetria assiale di un punto sull'asse di simmetria è il punto stesso.

- La linea simmetrica di una linea parallela all'asse di simmetria è anche una linea parallela a detto asse.

- Una linea secante rispetto all'asse di simmetria ha come linea simmetrica un'altra linea secante che, a sua volta, interseca l'asse di simmetria nello stesso punto della linea originale.

- L'immagine simmetrica di una linea è un'altra linea che forma un angolo con l'asse di simmetria della stessa misura di quella della linea originale.

- L'immagine simmetrica di una linea perpendicolare all'asse di simmetria è un'altra linea che si sovrappone alla prima.

- Una linea e la sua linea simmetrica assiale formano un angolo la cui bisettrice è l'asse di simmetria.

Figura 2. La simmetria assiale preserva le distanze e gli angoli.

Esempi di simmetria assiale

La natura mostra abbondanti esempi di simmetria assiale. Ad esempio, puoi vedere la simmetria di volti, insetti come farfalle, il riflesso su superfici di acqua calma e specchi o le foglie delle piante, tra molti altri.

Figura 3. Questa farfalla mostra una simmetria assiale quasi perfetta. (Fonte: pixabay)

Figura 4. Il viso di questa ragazza ha una simmetria assiale. (Fonte: pixabay)

Esercizi di simmetria assiale

Esercizio 1

Abbiamo il triangolo dei vertici A, B e C le cui coordinate cartesiane sono rispettivamente A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3). Trova le coordinate cartesiane del triangolo simmetrico rispetto all'asse Y (asse delle ordinate).

Soluzione: se un punto P ha coordinate (x, y), la sua simmetria rispetto all'asse delle ordinate (asse Y) è P '= (- x, y). In altre parole, il valore della sua ascissa cambia segno, mentre il valore dell'ordinata rimane lo stesso.

In questo caso, il triangolo simmetrico con vertici A ', B' e C 'avrà coordinate:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3) come si può vedere in figura 6.

Figura 6. Se un punto ha coordinate (x, y), il suo simmetrico rispetto all'asse Y (asse delle ordinate) avrà coordinate (-x, y).

Esercizio 2

Con riferimento al triangolo ABC e al suo simmetrico A'B'C 'dell'esercizio 1, verificare che i lati corrispondenti del triangolo originale e il suo simmetrico abbiano la stessa lunghezza.

Soluzione: per trovare la distanza o la lunghezza dei lati usiamo la formula della distanza euclidea:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

La lunghezza del corrispondente lato simmetrico A'B 'è calcolata di seguito:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

In questo modo si verifica che la simmetria assiale preserva la distanza tra due punti. La procedura può essere ripetuta per gli altri due lati del triangolo e la sua simmetria per verificare l'invarianza in lunghezza. Ad esempio -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Esercizio 3

In relazione al triangolo ABC e al suo simmetrico A'B'C 'dell'esercizio 1, verifica che gli angoli corrispondenti del triangolo originale e del suo simmetrico abbiano la stessa misura angolare.

Soluzione: Per determinare le misure degli angoli BAC e B'A'C ', calcoleremo prima il prodotto scalare dei vettori AB con AC e poi il prodotto scalare di A'B' con A'C ' .

Ricordando che:

A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3).

Esso ha:

AB = <1-2, 1-5> e AC = <3-2, 3-5>

allo stesso modo

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> e AC = <-3 + 2, 3-5>

Quindi si trovano i seguenti prodotti scalari:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Allo stesso modo

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

La misura dell'angolo BAC è:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40,6º

Allo stesso modo, la misura dell'angolo B'A'C 'è:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40,6º

Concludendo che la simmetria assiale preserva la misura degli angoli.

Esercizio 4

Sia un punto P di coordinate (a, b). Trova le coordinate della sua simmetria assiale P 'rispetto alla linea y = x.

Soluzione: Chiameremo (a ', b') le coordinate del punto simmetrico P 'rispetto alla retta y = x. Il punto medio M del segmento PP 'ha coordinate ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) ed è anche sulla linea y = x, quindi vale la seguente uguaglianza:

a + a '= b + b'

D'altra parte, il segmento PP 'ha pendenza -1 perché è perpendicolare alla retta y = x con pendenza 1, quindi vale la seguente uguaglianza:

b - b '= a' -a

Risolvendo per le due precedenti uguaglianze a 'eb' si conclude che:

a '= da quel b' = a.

Cioè, dato un punto P (a, b), la sua simmetria assiale rispetto alla retta y = x è P '(b, a).

Riferimenti

1. Arce M., Blázquez S e altri. Trasformazioni dell'aereo. Estratto da: educutmxli.files.wordpress.com
2. Calcolo cc. Simmetria assiale. Estratto da: calculo.cc
3. Superprof. Simmetria assiale. Recupero da: superprof.es
4. wikipedia. Simmetria assiale. Estratto da: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Simmetria circolare. Estratto da: en.wikipedia.com