SERIE DI POTENZE: ESEMPI ED ESERCIZI - MATEMATICA - 2025

Una serie di potenze consiste in una sommatoria di termini sotto forma di potenze della variabile x, o più in generale, di xc, dove c è un numero reale costante. Nella notazione sommatoria una serie di poteri è espressa come segue:

Dove i coefficienti a _o , a ₁ , a ₂ … sono numeri reali e la serie inizia con n = 0.

Figura 1. Definizione di una serie di potenze. Fonte: F. Zapata.

Questa serie è centrata sul valore c che è costante, ma puoi scegliere che c sia uguale a 0, nel qual caso la serie di potenze si semplifica in:

La serie inizia con a _o (xc) ⁰ e a _o x ⁰ rispettivamente. Ma sappiamo che:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Quindi a _o (xc) ⁰ = a _o x ⁰ = a _o (termine indipendente)

La cosa buona delle serie di potenze è che le funzioni possono essere espresse con esse e questo ha molti vantaggi, soprattutto se vuoi lavorare con una funzione complicata.

In questo caso, invece di utilizzare direttamente la funzione, utilizzare la sua espansione in serie di potenze, che può essere più semplice da derivare, integrare o lavorare numericamente.

Ovviamente tutto è condizionato alla convergenza delle serie. Una serie converge quando si aggiunge un certo numero elevato di termini fornisce un valore fisso. E se aggiungiamo ancora più termini, continuiamo a ottenere quel valore.

Funziona come Power Series

Come esempio di una funzione espressa come serie di potenze, prendiamo f (x) = e ^x .

Questa funzione può essere espressa in termini di una serie di potenze come segue:

e ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Dove! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … e ci vuole 0! = 1.

Verificheremo con l'aiuto di una calcolatrice che effettivamente la serie coincida con la funzione esplicitamente data. Ad esempio, iniziamo facendo x = 0.

Sappiamo che e ⁰ = 1. Vediamo cosa fa la serie:

e ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

E ora proviamo x = 1. Una calcolatrice restituisce che e ¹ = 2,71828, quindi confrontiamo con la serie:

e ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Con solo 5 termini abbiamo già una corrispondenza esatta in e ≈ 2.71. La nostra serie ha ancora poco da fare, ma man mano che vengono aggiunti più termini, la serie converge sicuramente al valore esatto di e. La rappresentazione è esatta quando n → ∞.

Se l'analisi precedente viene ripetuta per n = 2, si ottengono risultati molto simili.

In questo modo siamo sicuri che la funzione esponenziale f (x) = e ^x può essere rappresentata da questa serie di potenze:

Figura 2. In questa animazione possiamo vedere come la serie di potenze si avvicina alla funzione esponenziale man mano che vengono presi più termini. Fonte: Wikimedia Commons.

Serie geometrica di potenze

La funzione f (x) = e ^x non è l'unica funzione che supporta una rappresentazione in serie di potenze. Ad esempio, la funzione f (x) = 1/1 - x assomiglia molto alla ben nota serie geometrica convergente:

Basta fare a = 1 er = x per ottenere una serie adatta a questa funzione, che è centrata in c = 0:

Tuttavia, è noto che questa serie è convergente per │r│ <1, quindi la rappresentazione è valida solo nell'intervallo (-1,1), sebbene la funzione sia valida per tutti gli x, tranne x = 1.

Quando vuoi definire questa funzione in un altro intervallo, ti concentri semplicemente su un valore adatto e il gioco è fatto.

Come trovare l'espansione in serie dei poteri di una funzione

Qualsiasi funzione può essere sviluppata in una serie di potenze centrata su c, purché abbia derivate di tutti gli ordini in x = c. La procedura fa uso del seguente teorema, chiamato teorema di Taylor:

Sia f (x) una funzione con derivate di ordine n, denotata come f ⁽ⁿ⁾ , che ammette un'espansione in serie di potenze sull'intervallo I. Il suo sviluppo seriale di Taylor è:

Così che:

Dove R _n , che è l'ennesimo termine della serie, è chiamato resto:

Quando c = 0 la serie è chiamata serie Maclaurin.

Questa serie data qui è identica alla serie data all'inizio, solo ora abbiamo un modo per trovare esplicitamente i coefficienti di ogni termine, dati da:

Tuttavia, dobbiamo assicurarci che la serie converga alla funzione da rappresentare. Succede che non tutte le serie di Taylor convergono necessariamente alla f (x) che era stata presa in considerazione nel calcolo dei coefficienti a _n .

Ciò accade perché forse le derivate della funzione, valutate in x = c, coincidono con lo stesso valore delle derivate di un'altra, anche in x = c. In questo caso i coefficienti sarebbero gli stessi, ma lo sviluppo sarebbe ambiguo in quanto non è certo a quale funzione corrisponda.

Fortunatamente c'è un modo per sapere:

Criterio di convergenza

Per evitare ambiguità, se R _n → 0 come n → ∞ per ogni x nell'intervallo I, la serie converge af (x).

Esercizio

- Esercizio risolto 1

Trova la serie di potenze geometriche per la funzione f (x) = 1/2 - x centrata in c = 0.

Soluzione

La funzione data deve essere espressa in modo tale che coincida il più fedelmente possibile con 1 / 1- x, di cui si conosce la serie. Quindi riscriviamo numeratore e denominatore, senza alterare l'espressione originale:

1/2 - x = (1/2) /

Poiché ½ è costante, viene fuori dalla sommatoria ed è scritto in termini della nuova variabile x / 2:

Si noti che x = 2 non appartiene al dominio della funzione, e secondo il criterio di convergenza dato nella sezione Geometric Power Series, l'espansione è valida per │x / 2│ <1 o equivalentemente -2 <x <2.

- Esercizio risolto 2

Trova i primi 5 termini dell'espansione in serie di Maclaurin della funzione f (x) = sin x.

Soluzione

Passo 1

I primi sono i derivati:

-Derivativa di ordine 0: è la stessa funzione f (x) = sin x

-Prima derivata: (sin x) ´ = cos x

-Seconda derivata: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Terza derivata: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Quarta derivata: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Passo 2

Quindi ogni derivata viene valutata in x = c, così come un'espansione della maclaurina, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Passaggio 3

Si _{costruiscono i} coefficienti a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; a ₄ = 0/4! = 0

Passaggio 4

Infine la serie viene assemblata secondo:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Il lettore ha bisogno di più termini? Quanti altri, la serie è più vicina alla funzione.

Nota che c'è uno schema nei coefficienti, il termine successivo diverso da zero è un ₅ e anche tutti quelli con indice dispari sono diversi da 0, alternando i segni, in modo che:

peccato x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Viene lasciato come esercizio per verificare che converga, il criterio del quoziente può essere utilizzato per la convergenza di serie.

Riferimenti

1. Fondazione CK-12. Serie Power: rappresentazione di funzioni e operazioni. Estratto da: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Calcolo integrale. Università Nazionale del Litorale.
3. Larson, R. 2010. Calcolo di una variabile. 9 °. Edizione. McGraw Hill.
4. Testi liberi di matematica. Serie di potenze. Recupero da: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Serie di potenze. Estratto da: es.wikipedia.org.