PARALLELEPIPEDO: CARATTERISTICHE, TIPOLOGIE, AREA, VOLUME - MATEMATICA - 2024

Un parallelepipedo è un corpo geometrico composto da sei facce, la cui caratteristica principale è che tutte le sue facce sono parallelogrammi e anche che le sue facce opposte sono parallele tra loro. È un poliedro comune nella nostra vita quotidiana, poiché lo possiamo trovare nelle scatole da scarpe, a forma di mattone, a forma di microonde, ecc.

Essendo un poliedro, il parallelepipedo racchiude un volume finito e tutte le sue facce sono piatte. Fa parte del gruppo dei prismi, che sono quei poliedri in cui tutti i suoi vertici sono contenuti in due piani paralleli.

Elementi del Parallelepipedo

Faces

Sono ciascuna delle regioni formate da parallelogrammi che delimitano il parallelepipedo. Un parallelepipedo ha sei facce, ciascuna delle quali ha quattro facce adiacenti e una opposta. Inoltre, ogni faccia è parallela al suo opposto.

Bordi

Sono il lato comune di due facce. In totale, un parallelepipedo ha dodici bordi.

Vertice

È il punto comune di tre facce adiacenti l'una all'altra a due a due. Un parallelepipedo ha otto vertici.

Diagonale

Date due facce di un parallelepipedo contrapposte, possiamo disegnare un segmento di linea che va dal vertice di una faccia al vertice opposto dell'altra.

Questo segmento è noto come la diagonale del parallelepipedo. Ogni parallelepipedo ha quattro diagonali.

Centro

È il punto in cui si intersecano tutte le diagonali.

Caratteristiche del Parallelepipedo

Come abbiamo già detto, questo corpo geometrico ha dodici bordi, sei facce e otto vertici.

In un parallelepipedo si possono identificare tre insiemi formati da quattro spigoli paralleli tra loro. Inoltre, anche i bordi di detti gruppi hanno la proprietà di avere la stessa lunghezza.

Un'altra proprietà che i parallelepipedi possiedono è quella di essere convessi, cioè se prendiamo una qualsiasi coppia di punti appartenente alla parte interna del parallelepipedo, anche il segmento determinato da detta coppia di punti sarà all'interno del parallelepipedo.

Inoltre, i parallelepipedi, essendo poliedri convessi, sono conformi al teorema di Eulero per i poliedri, che ci fornisce una relazione tra il numero di facce, il numero di spigoli e il numero di vertici. Questa relazione è data sotto forma della seguente equazione:

C + V = A + 2

Questa caratteristica è nota come caratteristica di Eulero.

Dove C è il numero di facce, V il numero di vertici e A il numero di bordi.

tipi

Possiamo classificare i parallelepipedi in base alle loro facce, nelle seguenti tipologie:

Orthohedron

Sono i parallelepipedi dove le loro facce sono formate da sei rettangoli. Ogni rettangolo è perpendicolare a quelli che condividono un bordo. Sono i più comuni nella nostra vita quotidiana, essendo questa la forma usuale di scatole da scarpe e mattoni.

Cubo regolare o esaedro

Questo è un caso particolare del precedente, dove ciascuna delle facce è un quadrato.

Il cubo fa anche parte dei corpi geometrici chiamati solidi platonici. Un solido platonico è un poliedro convesso, in modo che sia le sue facce che i suoi angoli interni siano uguali tra loro.

Romboedro

È un parallelepipedo con rombi per la faccia. Questi rombi sono tutti uguali tra loro, poiché condividono i bordi.

Romboedro

Le sue sei facce sono romboidi. Ricorda che un romboide è un poligono con quattro lati e quattro angoli uguali da due a due. I romboidi sono parallelogrammi che non sono né quadrati, né rettangoli, né rombi.

D'altra parte, i Parallelepipedi Obliqui sono quelli in cui almeno un'altezza non concorda con il loro bordo. In questa classificazione possiamo includere romboedri e romboedri.

Calcolo delle diagonali

Per calcolare la diagonale di un ortoedro possiamo usare il teorema di Pitagora per R ³ .

Ricordiamo che un ortoedro ha la caratteristica che ogni lato è perpendicolare ai lati che condividono un bordo. Da questo fatto possiamo dedurre che ogni spigolo è perpendicolare a quelli che condividono un vertice.

Per calcolare la lunghezza di una diagonale di un ortoedro procediamo come segue:

1. Calcoliamo la diagonale di una delle facce, che metteremo come base. Per questo usiamo il teorema di Pitagora. Chiamiamo questa diagonale d _b .

2. Quindi con d _b possiamo formare un nuovo triangolo rettangolo, tale che l'ipotenusa di detto triangolo sia la diagonale D che stiamo cercando.

3. Usiamo di nuovo il teorema di Pitagora e abbiamo che la lunghezza di questa diagonale è:

Un altro modo per calcolare le diagonali in modo più grafico è con l'aggiunta di vettori liberi.

Ricorda che due vettori liberi A e B vengono aggiunti posizionando la coda del vettore B con la punta del vettore A.

Il vettore (A + B) è quello che inizia alla coda di A e termina alla punta di B.

Consideriamo un parallelepipedo per il quale vogliamo calcolare una diagonale.

Identifichiamo i bordi con vettori opportunamente orientati.

Quindi aggiungiamo questi vettori e il vettore risultante sarà la diagonale del parallelepipedo.

La zona

L'area di un parallelepipedo è data dalla somma di ciascuna delle aree delle sue facce.

Se determiniamo uno dei lati come base,

A _L + 2A _B = Area totale

Dove A _L è uguale alla somma delle aree di tutti i lati adiacenti alla base, chiamata area laterale, e A _B è l'area della base.

A seconda del tipo di parallelepipedo con cui stiamo lavorando, possiamo riscrivere questa formula.

Area di un ortohedron

È dato dalla formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Esempio 1

Dato il seguente ortoedro, con lati a = 6 cm, b = 8 cm ec = 10 cm, calcolare l'area del parallelepipedo e la lunghezza della sua diagonale.

Usando la formula per l'area di un ortoedro abbiamo quello

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Si noti che poiché è un ortoedro, la lunghezza di una qualsiasi delle sue quattro diagonali è la stessa.

Usando il teorema di Pitagora per lo spazio abbiamo quello

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Area di un cubo

Poiché ogni arco ha la stessa lunghezza, abbiamo che a = be a = c. Sostituendo nella formula precedente abbiamo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Esempio 2

La scatola di una console di gioco ha la forma di un cubo. Se volessimo avvolgere questa scatola con carta da pacchi, quanta carta dovremmo spendere sapendo che la lunghezza dei bordi del cubo è di 45 cm?

Usando la formula per l'area del cubo lo otteniamo

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Area di un romboedro

Poiché tutte le loro facce sono uguali, calcola l'area di una di esse e moltiplicala per sei.

Abbiamo che l'area di un rombo può essere calcolata attraverso le sue diagonali con la seguente formula

A _R = (Dd) / 2

Usando questa formula ne consegue che l'area totale del romboedro è

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Esempio 3

Le facce del romboedro successivo sono formate da un rombo le cui diagonali sono D = 7 cm ed = 4 cm. La tua area sarà

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Area di un romboedro

Per calcolare l'area di un romboedro dobbiamo calcolare l'area dei romboidi che lo compongono. Poiché i parallelepipedi soddisfano la proprietà che i lati opposti hanno la stessa area, possiamo associare i lati in tre coppie.

In questo modo abbiamo che la tua area sarà

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Dove b _i sono le basi associate ai lati e h _{i la} loro altezza relativa corrispondente a queste basi.

Esempio 4

Considera il seguente parallelepipedo,

dove il lato A e il lato A '(il lato opposto) hanno una base b = 10 e un'altezza h = 6. L'area contrassegnata avrà un valore di

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B e B 'hanno b = 4 eh = 6, quindi

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC e C 'hanno b = 10 e h = 5, quindi

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Infine l'area del romboedro è

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume di un parallelepipedo

La formula che ci dà il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una delle sue facce per l'altezza corrispondente a quella faccia.

V = A _C h _C

A seconda del tipo di parallelepipedo, questa formula può essere semplificata.

Così abbiamo per esempio che il volume di un ortoedro sarebbe dato da

V = abc.

Dove a, bec rappresentano la lunghezza dei bordi dell'ortoedro.

E nel caso particolare del cubo lo è

V = a ³

Esempio 1

Esistono tre diversi modelli di scatole per biscotti e vuoi sapere in quale di questi modelli puoi conservare più biscotti, ovvero quale delle scatole ha il volume maggiore.

Il primo è un cubo il cui bordo ha una lunghezza di a = 10 cm

Il suo volume sarà V = 1000 cm ³

Il secondo ha bordi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

E quindi il suo volume è V = 765 cm ³

E il terzo ha e = 9 cm, f = 9 cm eg = 13 cm

E il suo volume è V = 1053 cm ³

Pertanto, la scatola con il volume maggiore è la terza.

Un altro metodo per ottenere il volume di un parallelepipedo consiste nell'usare l'algebra vettoriale. In particolare, il prodotto a triplo punto.

Una delle interpretazioni geometriche che ha il prodotto triplo scalare è quella del volume del parallelepipedo, i cui bordi sono tre vettori che condividono lo stesso vertice come punto di partenza.

In questo modo, se abbiamo un parallelepipedo e vogliamo sapere qual è il suo volume, è sufficiente rappresentarlo in un sistema di coordinate in R ³ facendo coincidere uno dei suoi vertici con l'origine.

Quindi rappresentiamo i bordi che coincidono all'origine con i vettori come mostrato in figura.

E in questo modo abbiamo che il volume di detto parallelepipedo è dato da

V = - AxB ∙ C-

Oppure, equivalentemente, il volume è il determinante della matrice 3 × 3, formata dalle componenti dei vettori di bordo.

Esempio 2

Rappresentando il seguente parallelepipedo in R ³ possiamo vedere che i vettori che lo determinano sono i seguenti

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ew = (-0,25, -4, 4)

Usando il prodotto triplo scalare che abbiamo

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Da ciò concludiamo che V = 60

Consideriamo ora il seguente parallelepipedo in R3 i cui bordi sono determinati dai vettori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) e C = (3, 4, 4)

L'uso dei determinanti ci dà questo

Si ha quindi che il volume di detto parallelepipedo è 112.

Entrambi sono modi equivalenti per calcolare il volume.

Perfetto parallelepipedo

Un ortoedro è conosciuto come un mattone di Eulero (o blocco di Eulero) che soddisfa la proprietà che sia la lunghezza dei suoi bordi che la lunghezza delle diagonali di ciascuna delle sue facce sono numeri interi.

Sebbene Eulero non sia stato il primo scienziato a studiare l'ortohedra che soddisfa questa proprietà, ha trovato risultati interessanti su di loro.

Il mattone di Eulero più piccolo è stato scoperto da Paul Halcke e le lunghezze dei suoi bordi sono a = 44, b = 117 ec = 240.

Un problema aperto nella teoria dei numeri è il seguente

Esistono ortoedri perfetti?

Al momento non è stata data risposta a questa domanda, poiché non è stato possibile provare che tali organismi non esistano, ma nessuno dei due è stato trovato.

Ciò che è stato dimostrato finora è che esistono parallelepipedi perfetti. Il primo ad essere scoperto ha per la lunghezza dei suoi bordi i valori 103, 106 e 271.

Bibliografia

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