ELLISSOIDE: CARATTERISTICHE ED ESEMPI - ARTE - 2025

L' ellissoide è una superficie nello spazio che appartiene al gruppo delle superfici quadriche e la cui equazione generale è della forma:

È l'equivalente tridimensionale di un'ellisse, caratterizzata da tracce ellittiche e circolari in alcuni casi speciali. Le tracce sono le curve ottenute intersecando l'ellissoide con un piano.

Figura 1. Tre diversi ellissoidi: in alto una sfera in cui i tre semiassi sono uguali, in basso a sinistra uno sferoide, con due semiassi uguali e uno diverso, ed infine in basso a destra uno sferoide triassiale, con tre assi differenti lunghezza. Fonte: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Oltre all'ellissoide, ci sono altre cinque quadriche: iperboloide a un foglio e due fogli, due tipi di paraboloide (iperbolico ed ellittico) e il cono ellittico. Anche le sue tracce sono coniche.

L'ellissoide può anche essere espresso dall'equazione standard in coordinate cartesiane. Un ellissoide centrato all'origine (0,0,0) ed espresso in questo modo, assomiglia all'ellisse, ma con un termine aggiuntivo:

I valori di a, bec sono numeri reali maggiori di 0 e rappresentano i tre semiassi dell'ellissoide.

Caratteristiche ellissoidali

- Equazione standard

L'equazione standard in coordinate cartesiane per l'ellisse centrata nel punto (h, k, m) è:

- Equazioni parametriche dell'ellissoide

In coordinate sferiche, l'ellissoide può essere descritto come segue:

x = un peccato θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

I semiassi dell'ellissoide rimangono a, bec, mentre i parametri sono gli angoli θ e φ della figura seguente:

Figura 2. Il sistema di coordinate sferiche. L'ellissoide può essere parametrizzato utilizzando gli angoli visualizzati theta e phi come parametri. Fonte: Wikimedia Commons. Andeggs / Dominio pubblico.

- Tracce dell'ellissoide

L'equazione generale di una superficie nello spazio è F (x, y, z) = 0 e le tracce della superficie sono le curve:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Nel caso di un ellissoide, tali curve sono ellissi e talvolta cerchi.

- Volume

Il volume V dell'ellissoide è dato da (4/3) π volte il prodotto dei suoi tre semiassi:

V = (4/3) π. abc

Casi speciali dell'ellissoide

-Un ellissoide diventa una sfera quando tutti i semiassi hanno le stesse dimensioni: a = b = c ≠ 0. Questo ha senso, poiché l'ellissoide è come una sfera che è stata allungata in modo diverso lungo ciascuno asse.

-Lo sferoide è un ellissoide in cui due dei semiassi sono identici e il terzo è diverso, ad esempio potrebbe essere a = b ≠ c.

Lo sferoide è anche chiamato ellissoide di rivoluzione, perché può essere generato ruotando ellissi attorno a un asse.

Se l'asse di rotazione coincide con l'asse maggiore, lo sferoide è prolato, ma se coincide con l'asse minore è oblato:

Figura 3. Sferoide oblato a sinistra e sferoide prolato a destra. Fonte: Wikimedia Commons.

La misura dell'appiattimento dello sferoide (ellitticità) è data dalla differenza di lunghezza tra i due semiassi, espressa in forma frazionaria, cioè è l'unità di appiattimento, data da:

f = (a - b) / a

In questa equazione, a rappresenta il semiasse maggiore eb il semiasse minore, ricorda che il terzo asse è uguale a uno di questi per uno sferoide. Il valore di f è compreso tra 0 e 1 e per uno sferoide deve essere maggiore di 0 (se fosse uguale a 0 avremmo semplicemente una sfera).

L'ellissoide di riferimento

I pianeti e le stelle in generale non sono generalmente sfere perfette, perché il movimento rotatorio attorno ai loro assi appiattisce il corpo ai poli e lo gonfia all'equatore.

Ecco perché la Terra risulta essere come uno sferoide oblato, sebbene non esagerato come quello della figura precedente, e da parte sua il gigante gassoso Saturno è il più piatto dei pianeti del sistema solare.

Quindi un modo più realistico per rappresentare i pianeti è assumere che siano come uno sferoide o un ellissoide di rivoluzione, il cui semiasse maggiore è il raggio equatoriale e il semiasse minore è il raggio polare.

Accurate misurazioni effettuate sul globo hanno permesso di costruire l'ellissoide di riferimento della Terra come il modo più preciso per lavorarlo matematicamente.

Le stelle hanno anche movimenti rotatori che danno loro forme più o meno appiattite. La veloce stella Achernar, l'ottava stella più luminosa nel cielo notturno, nella costellazione meridionale dell'Eridano è notevolmente ellittica rispetto alla maggior parte. È a 144 anni luce da noi.

All'altro estremo, alcuni anni fa gli scienziati hanno trovato l'oggetto più sferico mai trovato: la stella Kepler 11145123, distante 5000 anni luce, due volte più grande del nostro Sole e una differenza tra i semiassi di appena 3 km. Come previsto, gira anche più lentamente.

Per quanto riguarda la Terra, non è uno sferoide perfetto neanche a causa della sua superficie ruvida e delle variazioni locali di gravità. Per questo motivo, è disponibile più di uno sferoide di riferimento e in ogni sito viene scelto il più appropriato alla geografia locale.

L'aiuto dei satelliti è prezioso per creare modelli sempre più accurati della forma della Terra, grazie a loro si sa, ad esempio, che il polo sud è più vicino all'equatore rispetto al polo nord.

Figura 4. Haumea, il pianeta nano transnettuniano ha una forma ellissoidale. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempio numerico

A causa della rotazione della Terra, viene generata una forza centrifuga che le conferisce la forma di un ellissoide oblungo, invece che di una sfera. Il raggio equatoriale della Terra è noto per essere 3963 miglia e il raggio polare è 3942 miglia.

Trova l'equazione della traccia equatoriale, quella di questo ellissoide e la misura del suo appiattimento. Confronta anche con l'ellitticità di Saturno, con i dati forniti di seguito:

-Raggio equatoriale di Saturno: 60.268 km

-Raggio polare di Saturno: 54.364 km

Soluzione

È richiesto un sistema di coordinate, che assumeremo centrato sull'origine (centro della Terra). Assumeremo che l'asse z verticale e la traccia che corrisponde all'equatore giaccia sul piano xy, equivalente al piano z = 0.

Nel piano equatoriale i semiassi aeb sono uguali, quindi a = b = 3963 miglia, mentre c = 3942 miglia. Questo è un caso speciale: uno sferoide centrato nel punto (0,0,0) come menzionato sopra.

La traccia equatoriale è un cerchio di raggio R = 3963 miglia, centrato all'origine. Si calcola facendo z = 0 nell'equazione standard:

E l'equazione standard dell'ellissoide terrestre è:

f _Terra = (a - b) / a = (3963-3942) miglia / 3963 miglia = 0,0053

f _Saturno = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Notare che l'ellitticità f è una quantità adimensionale.

Riferimenti

1. ArcGIS for Desktop. Sferoidi e sfere. Recupero da: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Il mistero dell'oggetto più sferico mai scoperto nell'Universo. Estratto da: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Sesta edizione. Volume 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellissoide. Estratto da: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Sferoide. Estratto da: en.wikipedia.org.