VELOCITÀ ISTANTANEA: DEFINIZIONE, FORMULA, CALCOLO ED ESERCIZI - FISICO - 2026

La velocità istantanea è definita come la variazione istantanea del time shift. È un concetto che aggiunge grande precisione allo studio del movimento. Ed è un anticipo rispetto alla velocità media, la cui informazione è molto generica.

Per ottenere la velocità istantanea, diamo un'occhiata al più piccolo intervallo di tempo possibile. Il calcolo differenziale è lo strumento perfetto per esprimere matematicamente questa idea.

La velocità istantanea mostra la velocità del cellulare in ogni punto del suo viaggio. Fonte: Pixabay.

Il punto di partenza è la velocità media:

Questo limite è noto come derivato. Nella notazione del calcolo differenziale abbiamo:

Finché il movimento è limitato a una linea retta, si può fare a meno della notazione vettoriale.

Calcolo della velocità istantanea: interpretazione geometrica

La figura seguente mostra l'interpretazione geometrica del concetto di derivata: è la pendenza della tangente alla curva x (t) vs. t in ogni punto.

La velocità istantanea in P è numericamente uguale alla pendenza della linea tangente alla curva x vs. t nel punto P. Fonte: Fonte: す じ に く シ チ ュ ー.

Puoi immaginare come ottenere il limite se il punto Q viene avvicinato poco a poco al punto P. Verrà un momento in cui entrambi i punti sono così vicini che non puoi distinguere l'uno dall'altro.

La linea che li unisce passerà quindi da essere secante (linea che interseca in due punti) ad essere tangente (linea che tocca la curva in un solo punto). Pertanto, per trovare la velocità istantanea di una particella in movimento dovremmo avere:

• Il grafico della posizione della particella in funzione del tempo. Trovando la pendenza della linea tangente alla curva in ogni istante di tempo, abbiamo la velocità istantanea in ogni punto che occupa la particella.

Oh bene:

• La funzione di posizione della particella x (t), che è derivata per ottenere la funzione di velocità v (t), quindi questa funzione viene valutata ogni volta t, a piacere. Si presume che la funzione di posizione sia differenziabile.

Alcuni casi speciali nel calcolo della velocità istantanea

-La pendenza della tangente alla curva in P è 0. Una pendenza nulla significa che il mobile è fermo e che la sua velocità è ovviamente 0.

-La pendenza della tangente alla curva in P è maggiore di 0. La velocità è positiva. Nel grafico sopra significa che il cellulare si sta allontanando da O.

-La pendenza della tangente alla curva in P è minore di 0. La velocità sarebbe negativa. Nel grafico sopra, non ci sono tali punti, ma in questo caso la particella si avvicinerebbe a O.

-La pendenza della tangente alla curva è costante in P e in tutti gli altri punti. In questo caso il grafico è una linea retta e il mobile ha un moto rettilineo uniforme MRU (la sua velocità è costante).

In generale, la funzione v (t) è anche una funzione del tempo, che a sua volta può avere una derivata. E se non fosse possibile trovare le derivate delle funzioni x (t) ev (t)?

Nel caso di x (t) potrebbe essere che la pendenza - la velocità istantanea - cambi di segno bruscamente. O che sarebbe passato immediatamente da zero a un valore diverso.

In tal caso, il grafico x (t) presenterebbe punti o angoli nei punti di cambiamenti improvvisi. Molto diverso dal caso rappresentato nell'immagine precedente, in cui la curva x (t) è una curva liscia, senza punti, angoli, discontinuità o bruschi cambiamenti.

La verità è che per i cellulari reali, le curve morbide sono quelle che meglio rappresentano il comportamento dell'oggetto.

Il movimento in generale è abbastanza complesso. I cellulari possono essere fermati per un po ', accelerare da fermo per avere una velocità e allontanarsi dal punto di partenza, mantenere la velocità per un po', quindi frenare per fermarsi di nuovo e così via.

Ancora una volta possono ricominciare e continuare nella stessa direzione. O azionare la retromarcia e tornare indietro. Questo si chiama movimento vario in una dimensione.

Di seguito alcuni esempi di calcolo della velocità istantanea che chiariranno l'utilizzo delle definizioni date:

Risolti esercizi di velocità istantanea

Esercizio 1

Una particella si muove lungo una linea retta con la seguente legge di moto:

Tutte le unità sono nel Sistema Internazionale. Trova:

a) La posizione della particella at = 3 secondi.

b) La velocità media nell'intervallo tra t = 0 se t = 3 s.

c) La velocità media nell'intervallo tra t = 0 se t = 3 s.

d) La velocità istantanea della particella della domanda precedente, at = 1 s.

risposte

a) Per trovare la posizione della particella, la legge del moto (funzione di posizione) viene valutata at = 3:

x (3) = (-4/3) .3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6.3 - 10 m = -10 m

Non c'è problema che la posizione sia negativa. Il segno (-) indica che la particella si trova a sinistra dell'origine O.

b) Nel calcolo della velocità media, la posizione finale e quella iniziale della particella sono richieste nei tempi indicati: x (3) e x (0). La posizione in t = 3 è x (3) ed è nota dal risultato precedente. La posizione at = 0 secondi è x (0) = -10 m.

Poiché la posizione finale è la stessa della posizione iniziale, si conclude immediatamente che la velocità media è 0.

c) La velocità media è il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato. Ora, la distanza è il modulo o l'entità dello spostamento, quindi:

distanza = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Notare che la distanza percorsa è sempre positiva.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Qui è necessario trovare la derivata prima della posizione rispetto al tempo. Quindi viene valutato per t = 1 secondo.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Esercizio 2

Di seguito il grafico della posizione di un cellulare in funzione del tempo. Trova la velocità istantanea at = 2 secondi.

Grafico della posizione rispetto al tempo per un cellulare. Fonte: autocostruito.

rispondere

Disegna la linea tangente alla curva at = 2 secondi, quindi trova la sua pendenza, prendendo due punti qualsiasi sulla linea.

Per calcolare la velocità istantanea nel punto indicato, traccia la linea tangente a quel punto e trova la sua pendenza. Fonte: autocostruito.

In questo esempio prenderemo due punti facilmente visualizzabili, le cui coordinate sono (2 s, 10 m) e il taglio con l'asse verticale (0 s, 7 m):

Riferimenti

1. Giancoli, D. Physics. Principi con applicazioni. 6 ^° Edizione. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fisico. Volume 1. Terza edizione in spagnolo. Messico. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 ^ma . Edizione. Messico. Cengage Learning Editors. 23-25.