VELOCITÀ AREOLARE: COME VIENE CALCOLATA ED ESERCIZI RISOLTI - FISICO - 2026

La velocità areolare è l'area spazzata per unità di tempo ed è costante. È specifico per ogni pianeta e deriva dalla descrizione della seconda legge di Keplero in forma matematica. In questo articolo spiegheremo cos'è e come viene calcolato.

Il boom che rappresenta la scoperta di pianeti al di fuori del sistema solare ha riattivato l'interesse per il moto planetario. Nulla ci fa credere che questi eso-pianeti seguano leggi diverse da quelle già note e valide nel sistema solare: le leggi di Keplero.

Johannes Kepler è stato l'astronomo che, senza l'aiuto del telescopio e utilizzando le osservazioni del suo mentore Tycho Brahe, ha creato un modello matematico che descrive il movimento dei pianeti attorno al Sole.

Ha lasciato questo modello incarnato nelle tre leggi che portano il suo nome e che sono valide ancora oggi come nel 1609, quando stabilì le prime due e nel 1618, data in cui enunciò la terza.

Leggi di Keplero

Nel linguaggio di oggi, le tre leggi di Keplero si leggono così:

1. Le orbite di tutti i pianeti sono ellittiche e il Sole è in un unico fuoco.

2. Il vettore di posizione dal Sole a un pianeta percorre aree uguali in tempi uguali.

3. Il quadrato del periodo orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse descritta.

Un pianeta avrà una velocità lineare, proprio come qualsiasi oggetto in movimento conosciuto. E c'è ancora di più: scrivendo la seconda legge di Keplero in forma matematica, sorge un nuovo concetto chiamato velocità areolare, tipico di ogni pianeta.

Perché i pianeti si muovono ellitticamente attorno al Sole?

La Terra e gli altri pianeti si muovono attorno al Sole grazie al fatto che su di essi esercita una forza: l'attrazione gravitazionale. Lo stesso accade con qualsiasi altra stella e con i pianeti che compongono il suo sistema, se li possiede.

Questa è una forza del tipo noto come forza centrale. Il peso è una forza centrale che tutti conoscono. L'oggetto che esercita la forza centrale, sia esso il Sole o una stella lontana, attrae i pianeti verso il suo centro e si muovono in una curva chiusa.

In linea di principio, questa curva può essere approssimata come una circonferenza, come ha fatto Nicolás Copernicus, un astronomo polacco che ha creato la teoria eliocentrica.

La forza responsabile è l'attrazione gravitazionale. Questa forza dipende direttamente dalle masse della stella e del pianeta in questione ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa.

Il problema non è così semplice, perché in un sistema solare tutti gli elementi interagiscono in questo modo, aggiungendo complessità alla materia. Inoltre, non sono particelle, poiché stelle e pianeti hanno dimensioni misurabili.

Per questo motivo, il punto centrale dell'orbita o del circuito percorso dai pianeti non è esattamente centrato sulla stella, ma in un punto noto come centro di gravità del sistema sole-pianeta.

L'orbita risultante è ellittica. L'immagine seguente lo mostra, prendendo come esempio la Terra e il Sole:

Figura 1. L'orbita della Terra è ellittica, con il Sole situato in uno dei fuochi. Quando la Terra e il Sole sono alla loro massima distanza, si dice che la Terra sia nell'afelio. E se la distanza è minima si parla di perielio.

L'afelio è la posizione più lontana dalla Terra dal Sole, mentre il perielio è il punto più vicino. L'ellisse può essere più o meno appiattita, a seconda delle caratteristiche del sistema stella-pianeta.

I valori dell'afelio e del perielio variano ogni anno, poiché gli altri pianeti causano disturbi. Per altri pianeti, queste posizioni sono chiamate rispettivamente apoaster e periaster.

L'entità della velocità lineare di un pianeta non è costante

Keplero ha scoperto che quando un pianeta orbita attorno al Sole, durante il suo movimento spazza aree uguali in tempi uguali. La Figura 2 mostra graficamente il significato di questo:

Figura 2. Il vettore di posizione di un pianeta rispetto al Sole è r. Quando il pianeta descrive la sua orbita, percorre un arco di ellisse Δs in un tempo Δt.

Matematicamente, il fatto che A ₁ sia uguale a A ₂ si esprime così:

Gli archi percorsi Δs sono piccoli, in modo che ogni area possa approssimare quella di un triangolo:

Poiché Δs = v Δ t, dove v è la velocità lineare del pianeta in un dato punto, sostituendo abbiamo:

E poiché l'intervallo di tempo Δt è lo stesso, otteniamo:

Poiché r ₂ > r ₁ , allora v ₁ > v ₂ , in altre parole, la velocità lineare di un pianeta non è costante. In effetti, la Terra va più veloce quando è nel perielio rispetto a quando è nell'afelio.

Pertanto, la velocità lineare della Terra o di qualsiasi pianeta attorno al Sole non è una grandezza che serve a caratterizzare il movimento di detto pianeta.

Velocità areolare

Con il seguente esempio mostreremo come calcolare la velocità areolare quando sono noti alcuni parametri del moto planetario:

Esercizio

Un eso-pianeta si muove attorno al suo sole seguendo un'orbita ellittica, secondo le leggi di Keplero. Quando è al periaster, il suo raggio vettore è r ₁ = 4 · 10 ⁷ km, e quando è all'apaster è r ₂ = 15 · 10 ⁷ km. La velocità lineare al suo periaster è v ₁ = 1000 km / s.

Calcolare:

A) L'entità della velocità all'apoastro.

B) La velocità areolare dell'eso-pianeta.

C) La lunghezza del semiasse maggiore dell'ellisse.

Rispondi a)

L'equazione viene utilizzata:

in cui vengono sostituiti i valori numerici.

Ogni termine è identificato come segue:

v ₁ = velocità in apoastro; v ₂ = velocità al periaster; r ₁ = distanza dall'apaster,

r ₂ = distanza dal periaster.

Con questi valori ottieni:

Risposta B)

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Messico. Cengage Learning Editors. 367-372.
2. Stern, D. (2005). Le tre leggi di Keplero del moto planetario. Recuperato da pwg.gsfc.nasa.gov
3. Nota: l'esercizio proposto è stato preso e modificato dal testo seguente in un libro di McGrawHill. Purtroppo è un capitolo isolato in formato pdf, senza titolo né autore: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf