VELOCITÀ ANGOLARE: DEFINIZIONE, FORMULA, CALCOLO ED ESERCIZI - FISICO - 2025

La velocità angolare è una misura della velocità di rotazione ed è definita come l'angolo che ruota il vettore di posizione dell'oggetto rotante, per unità di tempo. È una grandezza che descrive molto bene il movimento di una moltitudine di oggetti che ruotano costantemente ovunque: CD, ruote di automobili, macchinari, la Terra e molti altri.

Un diagramma del «London Eye» può essere visto nella figura seguente. Rappresenta il movimento di un passeggero rappresentato dal punto P, che segue il percorso circolare, denominato c:

Rappresentazione schematica del percorso circolare seguito da un passeggero del «London Eye». Fonte: autocostruito.

Il passeggero occupa la posizione P all'istante te la posizione angolare corrispondente a quell'istante è ϕ.

Dall'istante t trascorre un periodo di tempo Δt. In questo periodo la nuova posizione del passeggero puntuale è P 'e la posizione angolare è aumentata di un angolo Δϕ.

Come viene calcolata la velocità angolare?

Per le quantità rotazionali, le lettere greche sono ampiamente utilizzate per differenziarle dalle quantità lineari. Quindi inizialmente la velocità angolare media ω _m è definita come l'angolo percorso in un dato periodo di tempo.

Allora il quoziente Δϕ / Δt rappresenterà la velocità angolare media ω _m tra gli istanti t e t + Δt.

Se vuoi calcolare la velocità angolare proprio nell'istante t, devi calcolare il rapporto Δϕ / Δt quando Δt ➡0:

Relazione tra velocità lineare e angolare

La velocità lineare v, è il quoziente tra la distanza percorsa e il tempo impiegato per percorrerla.

Nella figura sopra, l'arco percorso è Δs. Ma quell'arco è proporzionale all'angolo percorso e al raggio, essendo soddisfatta la seguente relazione, che è valida fintanto che Δϕ è misurato in radianti:

Δs = r ・ Δϕ

Se dividiamo l'espressione precedente per il lasso di tempo Δt e prendiamo il limite quando Δt ➡0, otterremo:

v = r ・ ω

Movimento rotatorio uniforme

Nella foto è raffigurato il famoso "London eye", un filatoio alto 135 metri che gira lentamente in modo che le persone possano salire a bordo delle cabine alla sua base e godersi il paesaggio londinese. Fonte: Pixabay.

Un movimento rotatorio è uniforme se in qualsiasi istante osservato, l'angolo percorso è lo stesso nello stesso periodo di tempo.

Se la rotazione è uniforme, la velocità angolare in qualsiasi istante coincide con la velocità angolare media.

Inoltre, quando si effettua una virata completa, l'angolo percorso è 2π (equivalente a 360º). Pertanto, in una rotazione uniforme, la velocità angolare ω è correlata al periodo T, dalla seguente formula:

f = 1 / T

Cioè, in una rotazione uniforme, la velocità angolare è correlata alla frequenza da:

ω = 2π ・ f

Risolti problemi di velocità angolare

Esercizio 1

Le cabine del grande filatoio noto come "London Eye" si muovono lentamente. La velocità delle cabine è di 26 cm / se la ruota ha un diametro di 135 m.

Con questi dati calcolare:

i) La velocità angolare della ruota

ii) La frequenza di rotazione

iii) Il tempo impiegato da una cabina per compiere un giro completo.

risposte:

i) La velocità v in m / s è: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Il raggio è la metà del diametro: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x ^10-4 giri / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 giri / s = 0,0368 giri / min = 2,21 giri / ora.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 giro / ora = 0,45311 ora = 27 min 11 sec

Esercizio 2

Una macchinina si muove su una pista circolare con un raggio di 2 m. A 0 s la sua posizione angolare è 0 rad, ma dopo un tempo t la sua posizione angolare è data da:

φ (t) = 2 ・ t

Determinare:

i) La velocità angolare

ii) La velocità lineare in qualsiasi istante.

risposte:

i) La velocità angolare è la derivata della posizione angolare: ω = φ '(t) = 2.

In altre parole, la macchinina ha sempre una velocità angolare costante pari a 2 rad / s.

ii) La velocità lineare dell'auto è: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h

Esercizio 3

La stessa macchina dell'esercizio precedente inizia a fermarsi. La sua posizione angolare in funzione del tempo è data dalla seguente espressione:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Determinare:

i) La velocità angolare in qualsiasi istante

ii) La velocità lineare in qualsiasi istante

iii) Il tempo necessario per fermarsi dal momento in cui inizia a decelerare

iv) L'angolo percorso

v) distanza percorsa

risposte:

i) La velocità angolare è la derivata della posizione angolare: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) La velocità lineare dell'auto in un qualsiasi istante è data da:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4-2 t

iii) Il tempo necessario per fermarsi dal momento in cui inizia a decelerare, è determinato conoscendo il momento in cui la velocità v (t) diventa zero.

v (t) = 4-2 t = 0 => t = 2

Ciò significa che si ferma 2 s dopo l'inizio della frenata.

iv) Nel periodo di 2s da quando inizia a frenare fino a quando non si ferma, si percorre un angolo dato da φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 gradi

v) Nel periodo di 2 s dall'inizio della frenata all'arresto, si percorre una distanza s data da:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Esercizio 4

Le ruote di un'auto hanno un diametro di 80 cm. Se l'auto viaggia a 100 km / h. Trova: i) la velocità angolare di rotazione delle ruote, ii) la frequenza di rotazione delle ruote, iii) il numero di giri che la ruota compie in un viaggio di 1 ora.

risposte:

i) Prima di tutto convertiremo la velocità dell'auto da Km / ha h / s

v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

La velocità angolare di rotazione delle ruote è data da:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) La frequenza di rotazione delle ruote è data da:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 giri / s

La frequenza di rotazione è solitamente espressa in giri al minuto rpm

f = 11,05 giri / s = 11,05 giri / (1/60) min = 663,15 giri / min

iii) Il numero di giri che la ruota fa in un viaggio di 1 ora è calcolato sapendo che 1 ora = 60 min e che la frequenza è il numero di giri N diviso per il tempo in cui questi N giri vengono effettuati.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (giri / min) x 60 min = 39788,7 giri.

Riferimenti

1. Giancoli, D. Physics. Principi con applicazioni. 6a edizione. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fisico. Volume 1. Terza edizione in spagnolo. Messico. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7th. Edizione. Messico. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org