Il vettore di bilanciamento è quello che si oppone al vettore risultante e quindi è in grado di bilanciare un sistema, poiché ha la stessa grandezza e la stessa direzione, ma la direzione opposta ad essa.
In molte occasioni il vettore di bilanciamento si riferisce a un vettore di forza. Per calcolare la forza di bilanciamento, trovare prima la forza risultante, come mostrato nella figura seguente:
Figura 1. Due forze agiscono su un corpo la cui risultante è bilanciata dalla forza di colore turchese. Fonte: autocostruito.
Esistono vari metodi per eseguire questa operazione, a seconda dei dati che hai a portata di mano. Poiché le forze sono vettori, la risultante è la somma vettoriale delle forze partecipanti:
F R = F 1 + F 2 + F 3 +….
Tra i metodi da utilizzare ci sono metodi grafici come poligonale, parallelogramma e metodi analitici come la scomposizione delle forze nelle loro componenti cartesiane. Nell'esempio in figura è stato utilizzato il metodo del parallelogramma.
Una volta trovata la forza risultante, la forza di bilanciamento è proprio il vettore opposto.
Se F E è la forza di bilanciamento, allora è accertato che F E applicato in un certo punto, garantisce l'equilibrio traslazionale del sistema. Se è una singola particella, non si muoverà (o forse con velocità costante), ma se è un oggetto esteso, avrà comunque la capacità di ruotare:
F R + F E = 0
Esempi
Le forze di bilanciamento sono presenti ovunque. Noi stessi siamo bilanciati dalla forza che la sedia esercita per compensare il peso. Gli oggetti a riposo: libri, mobili, plafoniere e un gran numero di meccanismi, sono continuamente bilanciati dalle forze.
Ad esempio, un libro a riposo su un tavolo è bilanciato dalla normale forza che esercita sul libro, impedendogli di cadere. Lo stesso accade con la catena o il cavo che tiene la lampada appesa al soffitto in una stanza. I cavi che trattengono un carico distribuiscono il loro peso attraverso la tensione al loro interno.
In un fluido, alcuni oggetti sono in grado di galleggiare e rimanere a riposo, poiché il loro peso è bilanciato da una forza ascendente esercitata dal liquido, chiamata spinta.
Vari meccanismi devono essere bilanciati conoscendo il vettore della forza di bilanciamento come barre, travi e colonne.
Quando si utilizza una bilancia, è necessario bilanciare in qualche modo il peso dell'oggetto con una forza equivalente, aggiungendo pesi o utilizzando molle.
Tabella delle forze
La tabella delle forze viene utilizzata in laboratorio per determinare la forza di bilanciamento. Consiste in una piattaforma circolare, di cui si ha la vista dall'alto in figura, e che ha un goniometro per misurare gli angoli.
Ai bordi del tavolo ci sono delle carrucole attraverso le quali passano le corde che trattengono i pesi e che convergono in un anello che si trova al centro.
Ad esempio, vengono appesi due pesi. Le tensioni generate nelle corde da questi pesi sono disegnate in rosso e blu nella figura 2. Un terzo peso in verde può bilanciare la forza risultante degli altri due e mantenere il sistema in equilibrio.
Figura 2. Vista dall'alto della tabella delle forze. Fonte: autocostruito.
Con la tabella delle forze è possibile verificare il carattere vettoriale delle forze, scomporre le forze, trovare la forza di bilanciamento e verificare il teorema di Lamy:
Figura 3. Il teorema di Lamy si applica a forze concorrenti e complanari. Fonte: Wikimedia Commons.
Esercizi risolti
-Esercizio 1
I pesi da 225 g (tensione blu) e 150 g (tensione rossa) sono appesi alla tabella delle forze della Figura 2, con gli angoli mostrati. Trova il valore della forza di bilanciamento e l'angolo che fa con l'asse verticale.
Figura 4. Tabella delle forze per l'esercizio 1.
Soluzione
Il problema può essere risolto con i pesi espressi in grammi (forze). Sia P 1 = 150 grammi e P 2 = 225 grammi, i rispettivi componenti di ciascuno sono:
P 1x = 225. cos 45 g = 159,10 g; P 1y = 225. cos 45º g = 159,10 g
P 2x = -150. peccato 30 g = -75,00 g; P 2y = 150. cos 30º g = 129,90 g
Il peso risultante P R si ottiene aggiungendo algebricamente i componenti:
P Rx = 159,10 - 75,00 g = 84,10 g
P Ry = 159,10 + 129,90 g = 289,00 g
Il peso di equilibratura P E è il vettore opposto a P R :
P Ex = -84,10 g
P Ey = -289,00 g
L'entità del peso di equilibratura è calcolata da:
P E = (P Ex 2 + P Ey 2 ) 1/2 = ((-84.10) 2 + (-289.00) 2 ) 1/2 g = 301 g
L'angolo θ nella figura è:
θ = arctg (-84,10 / -289,00) = 16,2º rispetto all'asse y negativo.
-Esercizio 2
Trova il vettore di bilanciamento del sistema mostrato in figura, sapendo che ogni quadrato misura 10 m di lato.
Figura 5. Diagramma per l'esempio lavorato 2.
Soluzione
I vettori contenuti in questa griglia saranno espressi in termini di unità e vettori ortogonali i e j che determinano il piano. Il vettore 1, indicato con v 1, ha magnitudine 20 me è diretto verticalmente verso l'alto. Può essere espresso come:
v 1 = 0 io +20 j m
Dal disegno si può vedere che il vettore 2 è:
v 2 = -10 io - 20 j m
Il vettore 3 è orizzontale e punta nella direzione positiva:
v 3 = 10 io + 0 jm
Infine il vettore 4 è inclinato di 45 °, poiché è la diagonale del quadrato, quindi le sue componenti misurano lo stesso:
v 4 = -10 i + 10 j m
Si noti che i segni indicano verso quale lato dell'asse si trovano i componenti: in alto ea destra hanno un segno +, mentre in basso ea sinistra hanno un segno -.
Il vettore risultante si ottiene aggiungendo un componente al componente:
v R = -10 i + 10 j m
Quindi il vettore di bilanciamento del sistema è:
v E = 10 io - 10 j m
Riferimenti
- Beardon, T. 2011. Un'introduzione ai vettori. Estratto da: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volume 1. Cinematica. 31-68.
- Fisico. Modulo 8: vettori. Estratto da: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Meccanica per ingegneri. Statico 6a edizione. Continental Publishing Company. 15-53.
- Calcolatrice addizione vettoriale. Estratto da: 1728.org
- Vettori. Recupero da: wikibooks.org